周世勋量子力学习题解答第七章习题

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1、7.1.证明：证：由对易关系及反对易关系，得上式两边乘，得∵∴7.2求在自旋态中，和的测不准关系：解：在表象中、、的矩阵表示分别为∴在态中讨论：由、的对易关系[，]要求①在态中，∴可见①式符合上式的要求。7.3.求的本征值和所属的本征函数。解：的久期方程为∴的本征值为。设对应于本征值的本征函数为由本征方程，得由归一化条件，得即∴对应于本征值的本征函数为设对应于本征值的本征函数为由本征方程由归一化条件，得即∴对应于本征值的本征函数为同理可求得的本征值为。其相应的本征函数分别为7.4求自旋角动量方向的投影本征值和所属的本征函数。在这些本征态中，测量有哪些可能值？这些可能值各以多大的几率

2、出现？的平均值是多少？解：在表象，的矩阵元为其相应的久期方程为即所以的本征值为。设对应于的本征函数的矩阵表示为，则由归一化条件，得可见，的可能值为相应的几率为同理可求得对应于的本征函数为在此态中，的可能值为相应的几率为7.5设氢的状态是①求轨道角动量z分量和自旋角动量z分量的平均值；②求总磁矩的z分量的平均值（用玻尔磁矩子表示）。解：ψ可改写成从ψ的表达式中可看出的可能值为0相应的几率为的可能值为相应的几率为7.6一体系由三个全同的玻色子组成，玻色子之间无相互作用。玻色子只有两个可能的单粒子态。问体系可能的状态有几个？它们的波函数怎样用单粒子波函数构成？解：体系可能的状态有4个。设

3、两个单粒子态为，，则体系可能的状态为7.7证明和组成的正交归一系。解：=0同理可证其它的正交归一关系。7.8设两电子在弹性辏力场中运动，每个电子的势能是。如果电子之间的库仑能和相比可以忽略，求当一个电子处在基态，另一电子处于沿x方向运动的第一激发态时，两电子组成体系的波函数。解：电子波函数的空间部分满足定态S-方程考虑到，令其中，对于基态，对于沿χ方向的第一激发态，两电子的空间波函数能够组成一个对称波函数和一个反对称波函数，其形式为而两电子的自旋波函数可组成三个对称态和一个反对称态，即和综合两方面，两电子组成体系的波函数应是反对称波函数，即独态：三重态：