对概率论在广义积分计算中应用的研究

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1、概率论在广义积分计算中应用的研究董智杰通辽市左翼中旗白音塔拉农场学校通辽028000摘要：对于一些特殊类型的广义积分的计算，我们可以利用概率论的有关知识求解。本文所给出的几种特殊类型广义积分的计算，分别利用了概率论中指数分布、正态分布和分布，从而体现了不同数学分支的内在联系。关键词：广义积分指数分布正态分布分布一引言广义积分是高等数学中较难的概念之一，需要我们掌握其定义和相关性质。在进行广义积分计算时，我们应选取简便且有效的方法。对于广义积分，现有如下定义：设函数在有定义，并且对任意的在区间上可积，当极限存在时，称这极限值为在区间上的广义积分。记

2、作，这时也称积分是收敛的，并且用记号表示它的值。如果上述的极限不存在，称积分是发散的，这时虽用同样的记号，但已经不表示数值了。而含参变量的广义积分，就是形如的积分，称为含参量的广义积分。在数理方程和概率论中经常出现这种形式的积分。对于广义积分的计算，我们有很多方法，比如说换元法，拉普拉斯变换，Fourier积分变换或函数的性质等很多方法，而对于一些特殊类型的广义积分的计算，我们还可以用概率论的有关知识。在概率论中，有一些重要的分布，比如说正态分布，指数分布，分布等等，而关于这些分布的数字特征均是关于概率密度函数的广义积分，例如，概率积分是标准正态

3、概率密度函数的广义积分，是很重要的积分之一，在概念论方面经常遇到，且有广泛应用。下面通过一些实例，对概率论在特殊类型广义积分计算中的应用进行探索，并期望在这一探索中，领会出一些令人耳目一新的方法。二、主要结果2.1用概率论中的指数分布计算广义积分定义1密度函数为,分布函数为，这里，是常数，这个分布称为指数分布。例1：计算这个例题可以用广义积分的分部积分法直接求解，但要用到两次分部积分法，并要求极限。这里注意到被积函数中含有因式，刚好是参数为的指数分布概率密度函数的一部分，故有，这里是服从参数为的指数分布的随机变量。由概率论知识可知，，，故2.2利

4、用概率论中的正态分布计算广义积分2．2．1利用正态分布的概率密度性质计算广义积分定义2设为连续型随机变量，若的概率密度函数为，，其中，为已知参数，则称服从正态分布，记作~概率密度具有规范性，即①利用此式可以简单计算类型广义积（其中为常数，）。例2：计算广义积分⑴；⑵解：⑴令则⑵此例中，⑴看作随机变量~；⑵看作随机变量~。通常微积分方法求解本例题比较困难，把被积函数看作或变换成某个正态分布的概率密度，再利用①式计算积分，则较为简单。2．2．2利用正态分布的期望定义计算广义积分定义3设连续型随机变量的概率密度为，若绝对收敛，则称此积分为的期望，记作。

5、对于正态分布~可以证明，即有：②利用②式可以较为方便地计算型广义积分例3：计算广义积分解：原式本例中可看作随机变量，~这类广义积分一般用换元法比较麻烦，而把被积函数看作或变换成某随机变量正态分布的期望表达式，则很容易求解。2．2．3利用正态分布的方差定义计算广义积分定义4设连续型随机变量的期望为，概率密度函数为，若存在，则称为的方差，记作。若~，则可证明，即有：由方差的定义可以推算出其计算公式，即有，于是对于正态分布有：③利用①,②，③式可以比较方便地计算型广义积分。例4：计算广义积分解：原式由③式知，原式这类广义积分的计算一般需要换元法和分部法

6、，是比较繁杂的，这里把所求积分变换成某随机变量正态分布的方差表达式，简化了积分计算。2.3利用分布求被积函数中含有三角函数的广义积分对于被积函数含有三角函数形式的广义积分，可以借助概率论中特征函数的知识来判断积分的敛散性，并进行求值。定理：设为服从概率密度为的随机变量，其特征函数为，为常数，则有广义积分：证明：由欧拉公式可知，，，故有又由特征函数的定义，得，，即证。例5：计算广义积分解：因被积函数含有分布密度函数的一部分，故其中为服从参数的分布的随机变量，其密度函数为特征函数为更进一步，如果遇到被积函数中为含有三角函数稍复杂的形势，可以考虑用三角

7、函数的积化和差等公式先降价处理，在进行计算，也可以简化计算。三结束语运用概率论的知识进行广义积分的计算，可以化简计算。通过以上的一些例子，使我们看到，处理广义积分计算的问题的数学思想和方法不仅局限于高等数学，也推广到概率统计中一些重要分布上，我们不但要会用微分的方法来处理概率论中的有关问题，而且也应该会用概率论有关概念及方法来处理微积分的一些问题，这不但有利于揭示不同数学分支之间的内在联系，而且可以加强逆向思维能力的训练，从而有利于对知识的理解和掌握。参考文献：[1]同济大学应用数学系，高等数学（第五版）[M]，北京：高等教育出版社，2002年7

8、月，[2]蔡兴光，李德宜，《微积分》[M],科学出版社，2004年8月[3]梁之舜等，《概率论与数理统计》（第五版）[M]，高等教育出版