判定三角形形状的十种方法

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1、判定三角形形状的十种方法数学考试和数学竞赛中，常有判断三角形形状的题目，这类题目涉及的知识面广，综合性强，它沟通了代数、几何、三角等方面的知识联系。解题思路不外是从边与边、边与角之间的关系考虑，从而达到解题的目的。1、若有a=b或(a-b)(b-c)(c-a)=0,则△ABC为等腰三角形。2、若有(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0,则△ABC为等边三角形。3、若有a2+b2＞c2，则△ABC为锐角三角形；若有a2+b2＝c2，则△ABC为直角三角形；若有a2+b2＜c2，则△ABC为钝角三角形。4、若有（a2-b2）（a2+b2-c2）=0，则△ABC为等腰三角

2、形或直角三角形。5、若有a=b且a2+b2=c2，则△ABC为等腰直角三角形。以上是从三角形的边与边之间的关系考虑的。6、若有sin2A+sin2B=sin2C或sinA=sinB,则△ABC为直角三角形或等腰三角形。7、若有cosA＞0，或tanA＞0,(其中∠A为△ABC中的最大角)则△ABC为锐角三角形。8、若有cosA＜0，或tanA＜0,(其中∠A为△ABC中的最大角),则△ABC为钝角三角形。9、若有两个（或三个）同名三角函数值相等（如tanA=tanB）,则△ABC为等腰三角形（或等边三角形）。10、若有特殊的三角函数值，则按特殊角来判断，如cosA=，b=

3、c,则△ABC为等边三角形。以下就一些具体实例进行分析解答：一、利用方程根的性质：例1：若方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有一个相同的根，且a、b、c为一个三角形的三条边，则此三角形为（   ）（A）      锐角三角形；（B）钝角三角形；（C）以c为斜边的直角三角形；（D）以a为斜边的直角三角形；(“缙云杯”初中数学邀请赛)解：将两个方程相减，得：2ax-2cx+2b2=0,显然a≠c，否则b=0，与题设矛盾，故x= ,将两个方程相加，得2ax+2cx+2b2=0，∵x≠0,否则b=0，与题设矛盾，∴x=-（a+c），∵两个方程有一个相同的根，∴  

4、=-（a+c），即b2+c2=a2，故△ABC是以a为斜边的直角三角形，故应选（D）二、利用根的判别式例2：已知a、b、c是△ABC的三边，且方程b(x2-1)-2ax+c(x2+1)=0没有实数根，试判断△ABC的形状。解：整理原方程，得：（c+b）x2-2ax+(c-b)=0,由已知，得：△=4a2-4(c+b)(c-b)=4(a2+b2-c2)＜0，∴a2+b2-c2＜0,即a2+b2＜c2,故△ABC是钝角三角形。三、利用根与系数的关系例3、在△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，已知方程x2+axcosB-bcosA=0的两根之和等于两根之积，试判

5、断△ABC的形状。解：根据一元二次方程的根与系数的关系，得：acosB=bcosA，如图：作CD⊥AB于D，则AD=bcosA，BD=acosB，AD=BD，又CD⊥AB，∴△ABC为等腰三角形。四、利用非负数的性质例4：已知a、b、c是△ABC的三边，且a3+b3+c3=3abc，求证：△ABC是等边三角形。证明：∵a3+b3+c3=3abc，∴（a+b）3+c3-3a2b-3ab2-3abc=0，即（a+b+c）（a2+b2+c2-ab-bc-ac）=0，∵a+b+c≠0，∴a2+b2+c2-ab-bc-ac=0，∴2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac=0即

6、（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2=0，∴a-b=b-c=c-a=0，故a=b=c，∴△ABC是等边三角形。五、利用三角形的面积例5：设△ABC的三条高线之和等于此三角形三个角平分线的交点到一边的距离的9倍，则△ABC是等边三角形。证明：设△ABC的面积为S，三个内角平分线交点为0，到一边的距离为h，三边上的高分别为ha、hb、hc，由三角形面积公式，得：ha=，hb=，hc=，h=，由已知，ha+hb+hc=9h，∴，即，∴c（a-b）2+a（b-c）2+b（c-a）2=0，又a、b、c均为正数，∴（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2=0，∴a=b=c，故△A

7、BC是等边三角形。例6、设P、Q为线段BC上的两定点，且BP=CQ，A为BC外的一个动点，当A运动到使∠BAP=∠CAQ时，△ABC是什么三角形？试证明你的结论。（全国初中数学邀请赛）答：△ABC为锐角三角形或钝角三角形。很显然，∵BP=CQ，∠BAP=∠CAQ，∴△ABP与△ACQ的外接圆是两个等圆，过点A作BC的垂线AD，垂足为D，∵点P、Q为线段BC上的两定点，∴P、Q两点不可能与点D重合，否则两点均与点D重合，与题设矛盾。∴△ABP与△ACQ的外接圆01与02必相交，故△ABC不可能为直角三角形，∴△ABC为锐角三角形