点到面的距离专题

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1、测试题一、选择题(每小题6分，共36分)1．平面α内的∠MON＝60°，PO是α的斜线，PO＝3，∠POM＝∠PON＝45°，那么点P到平面α的距离是(　　)A.　B.C.D.【解析】　cos∠POM＝cos∠POH·cos∠MOH，∴＝cos∠POH.∴cos∠POH＝.∴sin∠POH＝，∴PH＝PO·sin∠POH＝3×＝.【答案】　A2．在正三棱锥P—ABC中，三条侧棱两两互相垂直，侧棱长为a，则点P到平面ABC的距离为(　　)A．aB.aC.aD.a【解析】　作PH⊥平面ABC于H，连结CH并延长，交AB于D，连结PD，由P

2、H·CD＝PC·PD，求得PH＝a.【答案】　C3．在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别为棱AA1、BB1的中点，G为棱A1B1上的一点，且A1G＝λ(0≤λ≤1)，则点G到平面D1EF的距离为(　　)A.B.C.D.【解析】　A1B1∥面D1EF，∴G到面D1EF的距离为A1到面D1EF的距离．在△A1D1E中，过A1作A1H⊥D1E交D1E于H，显然A1H⊥面D1EF，则A1H即为所求，在Rt△A1D1E中，A1H＝＝＝.【答案】　D4．空间四点A、B、C、D每两点的连线长都等于a，动点P在线段AB上，动点Q

3、在线段CD上，则点P与Q的最小距离为(　　)A.B.aC.aD.a【解析】　当P、Q为中点时，PQ为AB和CD的公垂线，此时最短，求出得PQ＝a.【答案】　B5．如图所示，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为和.过A、B5分别作两平面交线的垂线，垂足为A′、B′，则AB∶A′B′等于(　　)A．2∶1B．3∶1C．3∶2D．4∶3【解析】　由已知条件可知∠BAB′＝，∠ABA′＝，设AB＝2a，经计算BB′＝a，A′B＝a，∴在Rt△BB′A′中得A′B′＝a，∴AB∶A′B′＝2∶1.【答案】　A6．已知

4、平面α∥平面β，直线m⊂α，直线n⊂β，点A∈m，点B∈n，记点A、B之间的距离为a，点A到直线n的距离为b，直线m和n的距离为c，则(　　)A．b≤c≤aB．a≤c≤bC．c≤a≤bD．c≤b≤a【解析】　如图：α∥β，考虑m，n异面时，m和n的距离等于α、β间距离，点A到n的距离可以如下作出：过A作AO⊥面β于O，过O作OC⊥n于C，则AC为A点到直线n的距离，显然，此时c≤b≤a，故选D.【答案】　D二、填空题(每小题6分，共18分)7．如图所示，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，AB＝1.若二面角C—AB—C1的大小为60°，

5、则点C到平面ABC1的距离为________．【解析】　如图所示，在△ABC中，AB＝1，则AB边上的高CD长度为，∠C1DC＝60°.∴CC1＝，C1D＝.在△CDC1中，CO⊥C1D，由图可知CO为面ABC1的垂线，∴由等面积法可得C1D·CO＝CD·CC1.∴CO＝.【答案】　8．如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，∠BAC＝60°，PC⊥平面ABC，PC＝4，M为AC边上的一个动点，则PM的最小值为________．【解析】　作CH⊥AB交AB于H，连结PH.∵PC⊥平面ABC，∴PH⊥AB，则当点M在H处时，

6、PH最小．∵AC＝8cos60°＝4，∴CH＝4sin60°＝2，5∴PH＝＝2，即PM的最小值2.【答案】　29．(2008年全国Ⅰ)已知菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，沿对角线BD将△ABD折起，使二面角A—BD—C为120°，则点A到△BCD所在平面的距离等于________．【解析】　如图所示，取BD中点E，连接AE、CE.∵△ABD、△BCD均为等腰三角形，∴AE⊥BD，CE⊥BD，∴BD⊥平面AEC.∴∠AEC为二面角A—BD—C的平面角，∴∠AEC＝120°.在平面AEC内过A作CE的垂线AH，垂足为H，则H在

7、CE的延长线上．∵BD⊥平面AEC.∴BD⊥AH.又AH⊥CE，∴AH⊥平面BCD.∵∠BAD＝120°，∴∠BAE＝60°，∴cos∠BAE＝，∴AE＝1.又∠AEH＝60°，∴AH＝.【答案】　三、解答题(10,11每题15分，12题16分，共46分)10．如图所示，棱长均为a的正三棱柱中，D为AB中点，连结A1D，DC，A1C.(1)求证：BC1∥面A1DC；(2)求BC1到面A1DC的距离．【解析】　(1)证明：如图所示，连结AC1交A1C于E，连结DE，则DE∥BC1，而DE⊂平面A1DC，∴BC1∥平面A1DC.(2)∵B

8、C1∥平面A1DC，∴BC1上任一点到平面A1DC的距离等于BC1到平面A1DC的距离．∴求C1到平面A1DC的距离即可．∵平面A1DC过线段AC1中点，∴A到平面A1DC的距离等于C1到平面A1DC的距离．由题意知CD