2010～2011学年度第一学期期中考试高二数学试题（理科）

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1、2010～2011学年度第一学期期中考试高二数学试题（理科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。请把答案填写在答题卡相应的位置上.1．已知命题，则:.2．“”是“直线与圆相交”的条件。（充分而不必要条件、必要而不充分条件、充分必要条件、既不充分也不必要条件）3.函数，的单调递增区间是．4.有下列四个命题：（1）“若，则”的逆命题；（2）“全等三角形的面积相等”的否命题；（3）“若，则有实根”的逆命题；（4）“若，则”的逆否命题。其中真命题的个数是________.5．若，则等于6．已知数列{an}的前n项和，则数列{an}成等比数列的充要条件是r＝．7．计算8．观察下列等式：

2、,……，根据上述规律，第五个等式为____________.9．已知复数满足=2，则的最大值为．10．设…，则.11．已知函数在处有极大值，则=。12.已知函数f(x)在R上满足f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8，则f’(1)=.图一第13题图图二13．已知扇形的圆心角为（定值），半径为（定值），分别按图一、二作扇形的内接矩形，若按图一作出的矩形面积的最大值为，则按图二作出的矩形面积的最大值为.14.若存在过点的直线与曲线和都相切，则等于.二、解答题15.（本小题满分14分）已知为复数，和均为实数，其中是虚数单位．（Ⅰ）求复数；（Ⅱ）若复数在复平面上对应的点在第一

3、象限，求实数的取值范围．16．（本小题满分14分）已知p：，q：．⑴若p是q充分不必要条件，求实数的取值范围；⑵若“非p”是“非q”的充分不必要条件，求实数的取值范围．17.(本题满分15分)已知a、b∈（0，+∞），且a+b=1,求证：(1)ab≤(2)+≥8;(3)+≥.(5分+5分+5分)18.(本题满分15分)已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，Sn=n2an（n∈N*）.（1）试求出S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表达式；(7分)（2）用数学纳法证明你的猜想，并求出an的表达式.(8分)19.（本小题满分16分）两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的

4、半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为xkm，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y,统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k,当垃圾处理厂建在的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065.（1）按下列要求建立函数关系式：（i）设（rad），将表示成的函数；并写出函数的定义域.(5分)（ii）设（km），将表示成的函数；并写出函数的定义域.(5分)ABCx（2）请你选

5、用（1）中的一个函数关系确定垃圾处理厂的位置，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？(6分)20．（本小题满分16分）已知函数的图象过点，且在点处的切线与直线垂直．(1)求实数的值；(6分)(2)求在（为自然对数的底数）上的最大值；(5分)(3)对任意给定的正实数，曲线上是否存在两点，使得是以为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上？(5分)2010～2011学年度第一学期期中考试高二数学试题（理科）参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。请把答案填写在答题卡相应的位置上.1．已知命题，则:.答案:2．“”是“直线与圆相交”的条件。（充分而不必要条件、

6、必要而不充分条件、充分必要条件、既不充分也不必要条件）答案充分而不必要条件3.函数，的单调递增区间是．答案：4.有下列四个命题：（1）“若，则”的逆命题；（2）“全等三角形的面积相等”的否命题；（3）“若，则有实根”的逆命题；（4）“若，则”的逆否命题。其中真命题的个数是________.答案:_1_5．若，则等于答案:06．已知数列{an}的前n项和，则数列{an}成等比数列的充要条件是r＝．答案:r=-17．计算答案：-18．观察下列等式：,……，根据上述规律，第五个等式为____________.【答案】9．已知复数满足=2，则的最大值为．答案：710．设…，则.

7、答案：11．已知函数在处有极大值，则=。答案：612．12.已知函数f(x)在R上满足f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8，则f’(1)=.答案:213．已知扇形的圆心角为（定值），半径为（定值），分别按图一、二作扇形的内接矩形，若按图一作出的矩形面积的最大值为，则按图二作出的矩形面积的最大值为.图一第12题图图二答案：14.若存在过点的直线与曲线和都相切，则等于.答案：或解析设过的直线与相切于点，所以切