递归与回溯算法 王乃广

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1、递归与回溯算法山东省实验中学王乃广1递归的定义：在定义一个过程或函数时出现调用本过程或本函数的成分，称为递归。若调用自身，称为直接递归。若过程或函数p调用过程或函数q，而q又调用p，则称为间接递归。在程序设计中，使用递归技术往往使函数的定义和算法的描述简洁且易于理解。例：functionjiech(n:integer):longint;beginifn=0thenjiech:=1elsejiech:=n*jiech(n-1);end;2functionfib(n:integer):longint;beginif(n=0)or(n=1)thenfib:=1elsefib:

2、=fib(n-1)+fib(n-2);end;爬楼梯时可以1次走1个台阶，也可以1次走2个台阶。对于由n个台阶组成的楼梯，共有多少种不同的走法？1个台阶：只有1种走法；2个台阶：有两种走法；(1+1；2)n个台阶(n>2)，记走法为f(n)：第1次走1个台阶，还剩(n-1)个台阶，走法为f(n-1)；第1次走2个台阶，还剩(n-2)个台阶，走法为f(n-2)。所以，f(n)=f(n-1)+f(n-2)。定义f(0)=1，则有：3整数划分问题为避免重复，记设f(n,k)为把正整数n分成k份的分法，那么：先考虑特殊情况：f(n,1)=1(n=n)f(n,n)=1(n=1+1

3、+……+1)当k>n时，f(n,k)=0(4)若n1=1，则：其分法为f(n-1,k-1)；4(5)若n1>1,则其分法为f(n-k,k)。5递归过程或函数直接（或间接）调用自身，但如果仅有这些操作，那么将会由于无休止地调用而引起死循环。因此一个正确的递归程序虽然每次调用的是相同的子程序，但它的参数、输入数据等均有所变化，并且在正常的情况下，随着调用的深入，必定会出现调用到某一层时，不再执行调用而是终止函数的执行。递归思路是把一个不能或不好直接求解的“大问题”转化成一个或几个“小问题”来解决，再把这些“小问题”进一步分解成更小的“小问题”来解决，如此分解，直至每个“小问

4、题”都可以直接解决。递归分解不是随意地分解，要保证“大问题”和“小问题”相似。例：采用递归算法求实数数组A[0..n]中的最小值。6算法1:设f(a,i)为数组元素a[0]..a[i]中的最小值。当i=0时，有f(a,i)=a[0]；假设f(a,i-1)已求出，则：算法2：设f(i,j)为a[i]..a[j]中的最小值。将a[0]..a[n]看作一个线性表，它可以分解成a[0]..a[i]和a[i+1]..a[n]两个子表，分别求得各自的最小值x和y，较小者就是a[0]..a[n]中的最小值。而求解子表中的最小值方法与总表相同，即再分别把它们分成两个更小的子表，如此不断

5、分解，直到表中只有一个元素为止(该元素就是该表中的最小值)。7functionmin(i,j:integer):real;varmid:integer;min1,min2:real;beginifi=jthenmin:=a[i]elsebeginmid:=(i+j)div2;min1:=min(i,mid);min2:=min(mid+1,j);ifmin1

6、柱上去，每次只能搬动一个盘子，且必须始终保持每根柱子上是小盘在上，大盘在下。输出总共移动的次数及移动方案。ABC9分析：在移动盘子的过程当中发现要搬动第n个盘子，必须先将前n-1个盘子从A柱搬到B柱去，再将A柱上的最后一个盘子搬到C柱，最后从B柱上将n-1个盘子搬到C柱去。搬动n个盘子和搬动n-1个盘子时的方法是一样的，递归处理。当只需搬一个盘子时，直接搬动，不需要递归。10programhannuota;varn:integer;tot:longint;procedurehanoi(n:integer;s,t,d:char);beginifn>0thenbeginha

7、noi(n-1,s,d,t);tot:=tot+1;writeln(s,’->’,d);hanoi(n-1,t,s,d);end;end;beginreadln(n);tot:=0;hanoi(n,’A’,’B’,’C’);writeln(tot);end.11搜索算法对于给定的问题,如果有简明的数学模型揭示问题的本质,我们尽量用解析法求解；如果无法建立数学模型,或者即使有一定的数学模型,但采用数学方法解决有一定的困难,我们只好用模拟或搜索来求解。尽管搜索的时间复杂度一般是指数级的，但在缺乏解决问题的有效模型时，搜索却是一种行之有效的解决