循环映射不动点定理的推广与不动点问题

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1、循环映射不动点定理的推广及最优邻近点问题郭科数学与信息学院数学与应用数学专业2007级指导老师：李军摘要:本文推广了度量空间中的循环映射、最优邻近点的概念,并利用这些概念证明了不动点原理.同时给出了一个关于最优邻近点的存在性证明.关键词:不动点;循环映射;最优邻近点GeneralizedFixedTheoremforCyclicMappingsandBestProximityPointsGUOKeCollegeofMathematicsandInformationMajorMathematicsandAppliedMathematicsGrade2007Instructor:LIJunAbs

2、tract:Inthispaper,weextendthenotionsofcyclicmappingsandbestproximitypointsinorderedmetricspaces.Weprovesomefixedpointstheoremsrelatedtothesenotions,aswellasatheoremontheexistenceofbestproximitypoints.Keywords:Fixedpoint;Cyclicmapping;Bestproximitypoint12目录中文题目………………………………………………………………………1中文摘要…………………

3、……………………………………………………1中文关键词……………………………………………………………………1英文题目………………………………………………………………………1英文摘要………………………………………………………………………1英文关键词……………………………………………………………………11.引言…………………………………………………………………………32.不动点理论…………………………………………………………………53.最优邻近点…………………………………………………………………9参考文献………………………………………………………………………11致谢…………………………………………

4、…………………………………12121.引言不动点理论是泛函分析中最重要的定理之一,最常见的不动点定理有Banach压缩映射原理与Brouwer不动点定理([7]).2003年,Kirk,Srinivasan,Veeramani在文献[5]中首先提出了循环压缩映射下存在不动点的条件.2005年,Nieto和Rodríguez-López在文献[1]中最早提出了完备度量空间中,偏序关系下连续非递降压缩映射的不动点理论和偏序关系下单调非递降压缩映射的不动点理论.2011年,Abkar和Gabeleh在文献[2]中得出了度量空间中,在完备集上基于偏序关系下的任何连续非递降循环压缩映射必存在不动点和完

5、备集上基于偏序关系下的任何单调非递降循环压缩映射必存在不动点.2006年Eldred,Veeraman在文献[3]和2009年Thagafi,Shahzad在文献[4]中分别研究了最优邻近点的存在性.2011年Abkar和Gabeleh在文献[2]将上述结果推广到了循环压缩映射.由于文献[2]中仅考虑的是两个集合间的关系,本文将这一结果推广到了有限个集合,并证明了相关的结论.最后给出了在循环压缩映射下有限个集合间的最优邻近点的存在性证明.下面介绍几个定义及引理.定义1.1设为偏序集，映射，若对，有，则称为非递降映射.定义1.2设为度量空间,为的非空子集，若满足,则称为循环映射.定义1.3设为

6、度量空间,为的非空子集，令,为循环映射,若存在,使得,则称为的最优邻近点.引理1.1　设为度量空间,为的非空子集,为完备集，为上的偏序关系.设为循环映射，,为上的非递降映射,且存在,满足对任意的12,有.若存在,满足,则当时,有.证明　由为上的非递降映射,且存在,满足,则有，而,即有由,令,由易得：即有同理　12即有依此类推，得综上所述，得即得.注释1.1当时,上述引理退化为文献[2]中引理2.1.2.不动点理论为证明定理2.1,我们先证明以下引理．引理2.1　设为度量空间,为的非空子集,为完备集，为上的偏序关系,为循环映射，,为上的非递降映射且存在,满足对任意的,有.若存在,满足,则当时,

7、.证明令,有:12在引理1.1的证明过程令可得:所以即故有即有.定理2.1设为度量空间,为的非空子集,为完备集,为上的偏序关系,.为循环映射,为上的连续映射,为上的非递降映射且存在,对任意的时,有.若存在,,则当时,有,且有不动点.证明当时,则有:12即.所以,为的不动点.当时,则由引理2.1有:是中的数列.由为完备集,则存在,使又为上的非递降映射,且存在,满足,则有，而,即有由在上连续,则所以即同理,由在上