数量关系之翻杯子(硬币)问题

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1、数量关系之翻杯子、硬币问题一、什么情况下能翻成功  众所周知，一个杯口朝上的杯子，要翻成杯口朝下，要翻动1次、3次、5次……即奇数次。这样，根据奇、偶数的性质，不难发现：当杯子总数n为奇数而每次翻动的个数m为偶数时，无论翻几次，都不能成功。因为需翻动杯子的总次数为奇数(奇数个奇数的和为奇数)，而实际翻动总次数一定为偶数，显然奇数≠偶数，所以不能成功。除此之外的其它情况都能翻成功，即： ①杯子总数n为奇数、每次翻动的个数m为奇数，且需翻动奇数次;  ②杯子总数n为偶数、每次翻动的个数m为奇数，且需翻动偶数次

2、;   ③杯子总数n为偶数、每次翻动的个数m为偶数，且翻动奇、偶次均可。  以上三种情况为可成功的情况，且根据上述结论中翻动次数的奇偶性可排除部分选项。   二、最少需翻几次，怎样翻 最简单的情况是，当杯子总数n是每次翻动次数m的整数倍时，n÷m即为最少的翻动次数。通常，考题中的n是不能被m整除的，也就是说，在翻的过程中肯定有些杯子是需要重复翻的，这时，翻成功的次数必≥3次，具体最少是几次，取决于第一次翻动之后，剩余杯子数(n-m)和每次翻动杯子数m之间的关系，可简化为以下三种情况考虑：①n=m+1;②n

3、>2m;③n<2m。值得注意的是，倒数第二次翻动之后必有m个杯口朝上的杯子，那么，翻杯子的过程就是凑整数个m的杯子杯口朝上的过程。具体情况分析如下： 1.当n=m+1时，需翻n次 ；2.当n>2m时，需要 3.n<2m(1)若n与m同偶或同奇，需3次。(2)若n是偶数，m是奇数，需4次。因为翻一次后，剩下的杯子是奇数个，需将剩下的杯子任意一个翻一次，其它重翻补足，剩下的就变成偶数，再按上面的翻法就可以了，共4次。练习1：有8个杯口全部向上的杯子，每次将其中7个同时翻转，经过几次翻转，杯口可以全部向下?  

4、 A.6 B.8 C.9 D.几次也不能 【解析】首先判断能否成功，∵8个奇数之和是偶数=7×翻动次数，翻动次数存在且必为偶数，排除C、D选项。接下来确定最少翻动次数。具体操作如下：(○表示杯口朝上，●表示杯口朝下)   ○○○○○○○○   第1次 ●●●●●●●○   第2次 ○○○○○○●●   第3次 ●●●●●○○○   第4次 ○○○○●●●●   第5次 ●●●○○○○○   第6次 ○○●●●●●●   第7次 ●○○○○○○○   第8次 ●●●●●●●●   发现，每两次就能翻成两个，

5、所以8个杯子每次翻7个需8次翻成功，共翻了56次，每个杯子翻了7次。事实上，每当重复翻动一个杯子，即将已翻成杯口朝下的杯子先翻回杯口朝上，下次再翻成杯口朝下，这个过程实际上是将一个杯子多翻了两次，假设不重复翻的话，相当于在原杯子总数n的基础上另外增加了两个杯子，即有(n+2)个杯子。同理，若需要重复翻动a个杯子就可看做共有(n+2a)个杯子需要翻动。显然，8个杯子，每次须翻动7个，那么第二次翻动时，一定有6个杯子被重复翻动，可看成每次增加2×6=12个杯子，则翻动次数为(8+12×4)÷7=8(次)，8+

6、12×4=56表示总次数，还可知每个杯子均被翻了56÷8=7次。 练习2：有13个杯口全部向上的杯子，每次将其中5个同时翻转，经过几次翻转，杯口可以全部向下?   A.3 B.4 C.5 D.几次也不能   解析：首先判断能否成功，∵13个奇数之和是奇数=5×翻动次数，翻动次数存在且必为奇数，排除B、D选项。接下来确定最少翻动次数。具体操作如下：(○表示杯口朝上，●表示杯口朝下) ○○○○○○○○○ ○○○○ 第1次●●●●●○○○○○○○○第2次●●●●○●●●●○○○○第3次●●●●●●●●●●●●●

7、从左往右翻，当剩下的杯子数是小于2m的偶数时，先翻动它的一半，再由左边的补足，最后一次就刚好全部翻成，故选A。练习3：有12个杯口全部向上的杯子，每次将其中5个同时翻转，经过几次翻转，杯口可以全部向下?A.4B.5C.6D.几次也不能【解析】首先判断能否成功，∵12个奇数之和是偶数=5×翻动次数，翻动次数存在且必为偶数，排除B、D选项。接下来确定最少翻动次数。具体操作如下：(○表示杯口朝上，●表示杯口朝下)○○○○○○○○○○○○第1次●●●●●○○○○○○○第2次○○○○●●○○○○○○第3次●●●●●

8、●●○○○○○第4次●●●●●●●●●●●●从左往右翻，当剩下的杯子数是小于2m的奇数时，重复翻动凑2m个杯口向上的杯子，最后两次就刚好全部翻成，故选A。练习4：有8个杯口全部向上的杯子，每次将其中5个同时翻转，经过几次翻转，杯口可以全部向下?A.4B.5C.6D.几次也不能解析：首先判断能否成功，∵8个奇数之和是偶数=5×翻动次数，翻动次数存在且必为偶数，排除B、D选项。接下来确定最少翻动次数。具体操作如下：(○表示杯口朝上