试谈高等数学中的数学美.doc

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1、试谈高等数学中的数学美田长生(广东技术师范学院计算机科学系,广东广州　510665)摘　要:本文讨论了数学美的历史和内容,并结合高等数学的例子说明高等数学中数学美的各种表现形式,进一步提出了“要懂得欣赏数学美,首先必须‘懂’数学,并具有数学素质”的观点。关键词:数学美;熵性;高等数学Ξ中图分类号:O1-0　　　文献标识码:A　　　文章编号:1009-2803(2002)04-0083-05　一、数学美观点的有关历史美是人类创造性实践活动的产物,是文明的产物。我们通常所说的美,包括社会美、自然美、艺术美与科学美。数学美是科学美中的一种。数学美古已有之,古希腊哲学家毕达哥拉斯早在公元前5世纪至6

2、世纪就试图依据数和数的比例论述了美和美的形式,第一次提出“美是和谐与比例”的观点。古希腊数学家欧几里德早就提出了数学的演绎美和严谨美,他在《几何原本》中第一次系统地采用公理化方法,从公理与公设出发,用严密的演绎推导出一套几何理论,可以说是数学著作的一美学典范。我国古代早期的算筹也是一种美丽的原始计算工具,用算筹表示数1～9有纵、横两种方式:纵式:横式:表示多位数时,摆法是纵横相间,个位为纵,十位为横,从右到左,如7631,筹式为θ　⊥　≡　

3、这种方式体现了整齐与和谐之美。数学美随着近代数学的发展,受到这个时期的许多数学家的重视,他们对数学美作过许多精彩的阐述。拉普拉斯对分析语言的优美的评述是

4、:“没有另外一种语言是如此优美,而这些优美之处都是从一长串互相连接并全部出自于同一个基本概念的表达式中产生出来的。”有些数学家认为:数学理论是诗,数学家应该具有诗人的气质。分析学之父维尔斯特拉斯说过:“如果一个数学家不具备诗人的某种气质,他就永远休想成为一个大数学家。”傅里叶的级数理论本身就被称为“一部伟大的数学诗”。进入20世纪以来的现代数学时期,数学美不仅为许多数学家承认存在,而且还认为数学美感与数学审美能力是数学思维的驱动力,是数学创造性思维的一个重要组成部分。英国著名数学家哈代说:“数学家的选型与画家或诗人的选型一样,必须美;概念也象色彩或语言一样,必须和谐一致。美是首要的标准,不美

5、的数学在世界上是找不到永久容身之地的”。美国著名数学家,控制论创始人维纳更直截了当地说:“数学实质上是艺术的一种。”美国当代数学家A・波莱尔说:“我已经提到了数学作为艺术的观念,即概念构成的诗情画意这个观念,以此作为出发点就能断言:要能鉴赏数学,要能欣赏数学,就需要对一个很特殊的思维世界里的种种概念在精神上的雅与美有一种独特的感受力。”我国当代著名数学家徐利治指出:“数学美的含义十分丰富,如数学概念的简单性、统一性、结构系统的协调性、对称性,数学命题与数学模型的概括性、典型性与普适性,还有数学中的奇异性等等都是数学美的具体内容。”由此可见,古今中外许多数学家都非常重视数学美,并对数学美的内容

6、、表现形式及重要性作出了许多精辟的论述。二、高等数学中数学美的内容和表现形式数学美的含义十分丰富,很难用一两句话给数学美下定义,也很难全面论述数学美包含的内容与表现形式。这里,本人结合高等数学的20多年的教学体会,仅从两方面探讨。11从其反映客观实际的特性看,它包括两方面:泛熵性与反熵性。所谓泛熵是指任何事物、任何变化的混乱或无序,反熵是指从混乱或无序走向稳定、有序与平衡。如简单性、统一性、对称性、和谐性等数学美反映的就是反熵性。如高等数学中通常研究的曲线是光滑或分段光滑的,这样才可以求导,才可以展为泰勒级数,这样的曲线具有反熵性,反熵性可以使我们画出优美曲线。但数学美也有泛熵性的一面,如处

7、处连续而处处不可导的曲线;在区间上连续和一对一的函数,而其反函数不连续;在任何区间上都没有原函数的Riemann可积函数;一个函数,它的Maclaurin级数处处收敛,但仅令在一点表示这个函数…等等。出现在高等数学里面的许多泛熵性的例子,体现了数学美的另一种形式———奇异美。21从数学美的层次与范畴看,又有四方面之分:按数学内容与方法分,有结构美、方法美和语言美;按思维与创造分,有逻辑美、非逻辑美与创造美;按层次与结构分,有形态美和内在美;按理论与实践分,有严谨美与应用美。1)数学的结构美。指数学知识本身严谨和谐,有一定内在联系,给人以美的享受。从谋篇布局看,我们知道,高等数学是利用极限这个

8、工具去研究函数的各种特性,故在高等数学内容安排顺序上,首先是介绍研究对象———函数,然后介绍研究工具———极限论,随后是用极限作为工具,研究函数的变化率———微分,及其相反问题———积分以及它们的应用。这种整体结构美就象一部精美的长篇小说的一条逻辑主线。从概念、定理、性质的文字表述结构上,都是经过千锤百炼,非常严谨、精炼、优美、和谐。譬如函数f(x)在点x0处的极限的“ε—δ”定义,结构就是:“任给…,存在…