专题七函数与导数问题进阶(教师版)自己总结

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1、函数与导数问题进阶（教师版）常见题型及解法1.常见题型一、小题：1.函数的图象2.函数的性质(单调性、奇偶性、周期性、对称性);3.分段函数求函数值；4.函数的定义域、值域（最值）；5.函数的零点；6.抽象函数；7.定积分运算（求面积）二、大题：1.求曲线在某点处的切线的方程；2.求函数的解析式3.讨论函数的单调性，求单调区间；4.求函数的极值点和极值；5.求函数的最值或值域；6.求参数的取值范围7.证明不等式；8.函数应用问题2.在解题中常用的有关结论（需要熟记）：(1)曲线在处的切线的斜率等于，且切线方程为。(2)若可导函数在处取得极值，则。反之，不成

2、立。(3)对于可导函数，不等式的解集决定函数的递增（减）区间。(4)函数在区间I上递增（减）的充要条件是：恒成立（不恒为0）.(5)函数（非常量函数）在区间I上不单调等价于在区间I上有极值，则可等价转化为方程在区间I上有实根且为非二重根。（若为二次函数且I=R，则有）。(6)在区间I上无极值等价于在区间在上是单调函数，进而得到或在I上恒成立(7)若，恒成立，则;若，恒成立，则20(8)若，使得，则；若，使得，则.(9)设与的定义域的交集为D，若D恒成立，则有.(10)若对、，恒成立，则.若对，，使得,则.若对，，使得，则.（11）已知在区间上的值域为A,，

3、在区间上值域为B，若对,，使得=成立，则。(12)若三次函数f(x)有三个零点，则方程有两个不等实根，且极大值大于0，极小值小于0.(13)证题中常用的不等式:①②③④⑤⑥3.解题方法规律总结1.关于函数单调性的讨论：大多数函数的导函数都可以转化为一个二次函数，因此，讨论函数单调性的问题，又往往转化为二次函数在所给区间上的符号问题。要结合函数图象，考虑判别式、对称轴、区间端点函数值的符号等因素。2.已知函数（含参数）在某区间上单调，求参数的取值范围，有三种方法：①子区间法；②分离参数法；③构造函数法。3.注意分离参数法的运20用：含参数的不等式恒成立问题，

4、含参数的不等式在某区间上有解，含参数的方程在某区间上有实根（包括根的个数）等问题，都可以考虑用分离参数法，前者是求函数的最值，后者是求函数的值域。4.关于不等式的证明：通常是构造函数，考察函数的单调性和最值。有时要借助上一问的有关单调性或所求的最值的结论，对其中的参数或变量适当赋值就可得到所要证的不等式。对于含有正整数n的带省略号的不定式的证明，先观察通项，联想基本不定式（上述结论中的13），确定要证明的函数不定式（往往与所给的函数及上一问所得到的结论有关），再对自变量x赋值，令x分别等于1、2、…….、n,把这些不定式累加，可得要证的不定式。）5.关于方

5、程的根的个数问题：一般是构造函数，有两种形式，一是参数含在函数式中，二是参数被分离，无论哪种形式，都需要研究函数在所给区间上的单调性、极值、最值以及区间端点的函数值，结合函数图象，确立所满足的条件，再求参数或其取值范围。小题讲解：【例1】（山东高考题）已知定义在R上的奇函数，满足，且在区间[0,2]上是增函数，若方程在区间上有四个不同的根，则【答案】-8-8-6-4-202468yxf(x)=m(m>0)【解析】因为定义在R上的奇函数，满足，所以，所以,由为奇函数，所以函数图象关于直线对称且，由知，所以函数是以8为周期的周期函数，又因为在区间[0,2]上是

6、增函数，所以在区间[-2,0]上也是增函数．如图所示，那么方程f(x)=m(m>0)在区间上有四个不同的根20，不妨设，由对称性知，．所以．【点评】本题综合考查了函数的奇偶性,单调性，对称性，周期性，以及由函数图象解答方程问题，运用数形结合的思想和函数与方程的思想解答问题．【例2】若是方程的解，是的解，则的值为（）A．Error!Nobookmarknamegiven.B．C．3D．【解析】作出的图象，交点横坐标为，而．【答案】C【点评】该题考查了指数函数、对数函数的图象及性质．综合了函数的图象、方程的解及曲线的交点等问题．指数函数、对数函数是两类重要的基

7、本初等函数，高考中以它们为载体的函数综合题既考查双基，又考查对蕴含其中的函数思想、等价转化、分类讨论等思想方法的理解与运用．【例3】若函数有两个零点，则实数的取值范围是．【解析】设函数和函数，则函数有两个零点，就是函数与函数有两个交点，由图象可知：当时两函数只有一个交点，不符合，当时，因为函数的图象过点(0，1)，而直线所过的点一定在点(0，1)的上方，所以一定有两个交点．所以实数a的取值范围是．【答案】【点评】本题考查了指数函数的图象与直线的位置关系，隐含着对指数函数的性质的考查，根据其底数的不同取值范围而分别画出函数的图象解答．体现了对分类讨论思想的考

8、查，分类讨论时，要注意该分类时才分类，务必要全面．【例4】已知偶函