高三数学立体几何——打印稿

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1、立体几何1．三个公理和三条推论：（1）公理1：一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。这是判断直线在平面内的常用方法。（2）公理2：经过不在同一直线上的三点有且只有一个平面。推论1：经过直线和直线外一点有且只有一个平面。推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面。推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面。公理2和三个推论是确定平面的依据。（3）公理3、如果两个平面有两个公共点，它们有无数个公共点，而且这无数个公共点都在同一条直线上。这是判断几点共线（证这几点是两个平面的公共点）和三条直线共点（证其中两条直线的交点在第三条直线上）的方法之一。2

2、．直观图与三视图（1）直观图的画法（斜二侧画法规则）：（2）三视图3．空间直线的位置关系：（1）相交直线――有且只有一个公共点。（2）平行直线――在同一平面内，没有公共点。（3）异面直线――不在同一平面内，也没有公共点。4．判定线线平行的方法：（1）公理4：平行于同一直线的两直线互相平行；（找一线和这两线都平行）（2）线面平行的性质：如果一条直线和一个平面平行，那么经过这条直线的平面和这个平面相交的交线和这条直线平行；（想到直线和平面的判定定理）（3）面面平行的性质：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行；（4）线面垂直的性质：如果两条直线都垂直于同

3、一个平面，那么这两条直线平行。（5）利用中位线的性质；5．两直线垂直的判定：转化为证线面垂直；相交垂直可以考虑勾股定理.6．直线与平面的位置关系：（1）直线在平面内；（2）直线与平面相交。其中，如果一条直线和平面内任何一条直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直。注意：任一条直线并不等同于无数条直线；（3）直线与平面平行。其中直线与平面相交、直线与平面平行都叫作直线在平面外。7．直线与平面平行的判定和性质：（1）判定：①判定定理：如果平面内一条直线和这个直线平行，那么这条直线和这个平面平行；（见例题1（1））（在平面内找一条直线与已知直线平行：找一平面过已知直线与已知平

4、面相交，则交线就是）②面面平行的性质：若两个平面平行，则其中一个平面内的任何直线与另一个平面平行。（见例题3（1））（找一平面过已知直线与已知平面平行）另外，如下方法有时也用：α、β表示平面，a、b表示直线①（定义法）：通常反证②.（2）性质：如果一条直线和一个平面平行，那么经过这条直线的平面和这个平面相交的交线和这条直线平行。在遇到线面平行时，常需作出过已知直线且与已知平面相交的辅助平面，以便运用线面平行的性质。如（1）α、β表示平面，a、b表示直线，则a∥α的一个充分不必要条件是　A、α⊥β，a⊥β　　　　　　B、α∩β＝b，且a∥b　C、a∥b且b∥α　D、α∥

5、β且aβ（答：D）；（2）正方体ABCD-A１B１C１D１中，点N在BD上，点M在B1C上，且CM=DN，求证：MN∥面AA1B1B。8．直线和平面垂直的判定和性质：（见例题1（2））（1）判定：①判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直。②两条平行线中有一条直线和一个平面垂直，那么另一条直线也和这个平面垂直。③一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面④（2）性质：①如果一条直线和一个平面垂直，那么这条直线和这个平面内所有直线都垂直。②如果两条直线都垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。9．平面与平面的位置

6、关系：（1）平行――没有公共点；（2）相交――有一条公共直线。10．两个平面平行的判定和性质：（1）判定：①判定定理：一个如果平面内有两条相交直线和另一个平面平行，则这两个平面平行。（见例题3（1））一面内找两相交直线与另一平面平行（线面面面）.②依据垂直于同一直线的两平面平行来判定.③利用面面平行传递性依定义④采用反证法证明两平面没有公共点.（2）性质：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。11．两个平面垂直的判定和性质：（1）判定：①判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。（在一个面中找另一个面的一条垂线：在一面

7、内作两面交线的垂线，即为所求）；（见例题3（2））②定义法：找一个平面与这两个平面都垂直相交，证明两交线交角为直角；（2）性质：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。特别指出：立体几何中平行、垂直关系的证明的基本思路是利用线面关系的转化，即：如（1）已知直线平面，直线平面，给出下列四个命题：①②；③；④。其中正确的命题是_____（答：①③）；（2）设是两条不同直线，是两个不同平面，给出下列四个命题：①若则；②若，则；③若，则或；④若则。其中正确的命题是_____（答：①③④）12．棱柱：（1）棱柱的分类：①按侧棱是