2013-2017高考数学(文)真题分类汇编第13章 推理与证明

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1、第十三章推理与证明第一节合情推理与演绎推理题型143归纳推理2013年1.(2013陕西文13）观察下列等式：照此规律，第个等式可为.2014年1.（2014陕西文14）已知，，，，则的表达式为__________.2.（2014安徽文12）如图所示，在等腰直角三角形中，斜边，过点作的垂线，垂足为；过点作的垂线，垂足为；过点作的垂线，垂足为；…，以此类推，设，，，…，，则.2015年1.（2015陕西文16）观察下列等式：……据此规律，第个等式可为__________.1.解析观察等式知，第个等式的左边有个数相加减，奇数项为正，偶数项为负，且分子为，分母是到的连续正整数，等式

2、的右边是.故答案为.2.（2015江苏23）已知集合，，设整除或整除，，令表示集合所含元素的个数．（1）写出的值；（2）当时，写出的表达式，并用数学归纳法证明．2.分析其实解决此除了需要有良好的数学分类思维以外，还需下表辅助我们理解问题的本质．带标记的表示为的倍数或约数（其实是奇葩，其余的都是的倍数），带标记的表示为的倍数或约数，而则表示既是的倍数或约数又是的倍数或约数（即为的倍数或约数，此题不作研究）．这样研究时，可直接得:，当时，可直接得：．这就是本题的本质，以为周期进行分类整合并进行数学归纳研究．解析（1）当时，，，可取，，，，，，，，，，，，，共个，故．（2）当时，，

3、证明：当时，枚举可得，，，，，，符合通式；假设时，成立，即成立，则当时，此时，此时比多出有序数对个，即多出，，，，，，，，，，，从而，符合通式；另外，当，，，，，同理可证，综上，即，即当时也成立．例如时，，则，综上所述：．2016年1.（2016山东文12）观察下列等式：；；；；……照此规律，_________.1.解析通过观察这一系列等式可以发现，等式右边最前面的数都是，接下来是和项数有关的两项的乘积，经归纳推理可知是，所以第个等式右边是.题型144类比推理——暂无题型145演绎推理——隐含在好多题目的证明过程中补充题型逻辑推理2014年1.（2014新课标Ⅰ文14）甲、乙

4、、丙三位同学被问到是否去过，，三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过城市；乙说：我没去过城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为.2017年1.（2017全国2卷文9）甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：“你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩”．看后甲对大家说：“我还是不知道我的成绩”．根据以上信息，则（）.A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩1.解析由甲的说法可知乙、丙一人优秀一人良好，则甲、丁一人优秀一

5、人良好，乙看到丙的结果则知道自己的结果，丁看到甲的结果则知道自己的结果.故选D.第二节证明题型146综合法与分析法证明2015年1.（2015全国II文24）选修4-5：不等式选讲设，，，均为正数，且.证明：(1)若，则；(2)是的充要条件.1.分析（1）由，及，可证明，两边开方即得；（2）由第（1）问的结论来证明.在证明中要注意分别证明充分性和必要性.解析（1）因为，，由题设，，得，因此.（2）(i)若，则，即.因为，所以，由（1）得.(ii)若，则，即.因为，所以，于是，因此.综上，是的充要条件.命题意图不等式的证明要紧抓不等式的性质，结合其正负性来证明.充要条件的证明体

6、现了数学推理的严谨性，要分充分性和必要性两个方面来证明.2016年1.（2016四川文18（1））在中，角，，所对的边分别是，，，且证明：.1.解析根据正弦定理，可设，则，，.代入中，有，可变形得在中，由，有，所以2.（2016浙江文16（1））在中，内角，，所对的边分别为，，.已知.证明：.2.解析（1）由正弦定理得，故，于是.又，故，所以或，因此（舍去）或，所以题型147反证法证明2014年1.（2014山东文4）用反证法证明命题：“设为实数，则方程至少有一个实根”时，要做的假设是（）.A.方程没有实根B.方程至多有一个实根C.方程至多有两个实根D.方程恰好有两个实根20

7、15年1.（2015湖南理16（3））设，，且.（1）；（2）与不可能同时成立.1.解析证明：由，，得.（）由基本不等式及，有，即.()假设与同时成立，则由及得；同理，，从而，与相矛盾.故与不可能同时成立.2016年1.（2016全国甲文16）有三张卡片，分别写有和，和，和.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是”，则甲的卡片上的数字是_______.1.解析由题意得：丙不