话说函数三种定义的利与弊

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1、话说函数三种定义的利与弊话说函数三种定义的利与弊话说函数三种定义的利与弊话说函数三种定义的利与弊话说函数三种定义的利与弊话说函数三种定义的利与弊话说函数三种定义的利与弊2009年第1期数学教育研究?l5?话说函数三种定义的利与弊陈秀峰(浙江省宁波市鄞州中学315101)函数是一种特殊的关系,是数学的一个基本而又重要的概念,在现代数学中,它几乎渗透到数学的各个分支,怎样定义函数?根据数学发展的演变,一般有以下三种:变量说,对应说(映射说),关系说.下面就这三种定义,谈谈各自的利弊.1函数变量说的利弊回顾先回顾函数一词的起因.把函数(function)这个词用

2、作数学述语,最早是德国数学家莱布尼兹(Leibniz),在他1673年的一篇手稿里,用函数一词表示一个随着曲线上的点变动而变动的量,此词出现前,牛顿(New—ton)自1665年开始微积分的研究工作后,～直用流量(fluent)一词来表示变量间的关系.早在1775年,欧拉(Euler)曾提出:”如果当某些变量以这样一种方式依赖于另一变量,即当后面这些变量变化时,前面这些变量也随之变化,那么前面的变量称为后面变量的函数.”由以上定义,逐渐演变为目前的函数的”变量说”.它是这样定义的:”设X与是两个变量,如果当变量-z在实数的某一范围中变化时,变量按一定的规律

3、随z的变化而变化,我们称z为自变量,Y为因变量,变量叫做变量z的函数,记作Y一厂().”这样用一个变量随另一个变量的变化而变化的说法有许多好处.首先,在日常生活中或生产实践中,各变量之间多半大致已经”天然地”建立了对应关系,因此,虽然变量说并未突出对应关系,却不致误会,例如,要讨论正方形的面积Y和边长-z的关系,总是在同一个正方形中考虑面积值与边长值的对应.其次,从物理意义上看,例如,一厂(),反映了质点运动时路程随时间变化而变化的规律,”变量说”刻划得自然,形象,直观且通俗易懂.但是,不能不看到,”变量说”有其缺陷的一面.1.”变量说”对函数的实质——对

4、应,缺少充分的刻划,这是最致命的弊病.虽然其定义中也指出了自变量与因变量的概念,但未明确函数是z,y双方变化的一个总体,而却把变量定义为z的函数,使学生思想上先人为主,记住了函数就是y,这与函数是反映变量与变量之间的关系是相悖的.究竟函数是指,,还是,(z),还是一,(z)?变量说易于模糊三者的区别.我们说,只有厂才是函数,而,(z)仅是指函数,在的值,是一个数或是一个元素,而y一厂(z)是借以确定,的方程,是一个式子.因此严格说来,一,(-z)不应读作Y是X的函数,而应读作Y是,实施于z的结果.应该看到,人们常把对数函数写作logx而不写成log,认为l

5、og是没有意义的符号,必须写成logx才对,这是不妥的.当然,一旦掌握了厂,厂(),Y一厂(z)的区别后,在应用上为方便起见也准许有意识的混同使用,但这与因概念不清而混用是两回事.2.”变量说”强调的是两个变量及变量域——自变量与因变量,定义域和值域,而对对应规律却轻描谈写,一笔带过.由于忽略对应规律,单纯强调两个变量的相依关系——当z变化时,Y随之变化,则易误解为:Y—sinz+COSz=1不是函数;同样,由于忽视对应规律,单纯强调定义域和值域,则易误解为:Y—sinx,Y—cosz是同一函数.3.变量说把定义域和值域仅规定在实数范围内,也是局限的.例如

6、,一切三角形组成的集合与一切圆组成的集合,因为每个三角形对应于一个外接圆,这种对应关系已不是”量”之间的关系.为此必须延伸函数的概念,把它扩展为”映射”,突出”对应”,不必强调量.2函数对应说与函数变量说优劣比较函数的”对应说”是这样定义的:”设A与B是两个集合,如果按照某一确定的对应关系,对于集合A中每一确定的元素z,总有集合B中一个确定的元素Y和它对应,那么这个对应关系就叫一个映射.当A,B为数集时,称为函数.”由此可见,”对应说”也就是”映射说”.目前这种定义,已越来越多地被一些教科书所采用.首先,”对应说”较之”变量说”,虽然稍觉抽象,但它却抓住了

7、函数本质属性,突出了两个集合元素间的对应就是函数.在对应说中,函数可看作”暗箱”,例如,上面提到的正方形面积与边长关系的例子,即Y—z,输入z,输出z,于是”暗箱”相当于”平方机”的作用(如图).输入———-.(j至[卜_+输出其次,”变量说”是建立在变量的基础上,而”对应说”是建立在集合的基础上.事实上,所谓”变量是指有量可度的量,如长度,距离,时间等.但是当某客体无量可度时怎么办?采用了”对应说”,则”变量说”中那种把定义域,值域的变化范围——实数集,作为限制,就自然消失了.因此,”对应说”远比”变量说”的定义普遍得多.只有这样,函数的定义才能适应各种

8、不同的研究对象,使函数呈现出各种形态并被赋以专门的名称.例如在几何