两条直线的位置关系

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1、【本讲教育信息】一.教学内容：   两条直线的位置关系 二.教学目标：1.熟练掌握两条直线平行与垂直的充要条件，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系。2.掌握判断两直线相交的方法；会求两直线交点坐标，认识两直线交点与二元一次方程组的关系；能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系。3.理解两点间距离公式的推导，熟练掌握两点间距离公式。4.理解点到直线距离公式的推导，熟练掌握点到直线的距离公式；会用点到直线距离公式求解两平行线距离。5.体会判断两直线相交中的数形结合思想. 本周知识要点：一、两条直线的平行与垂直1、斜率存在时两直线的平行与垂直。（1）条直线平行（不重合）的情形两条直线有斜率且不

2、重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，则它们平行，即＝（2）两条直线垂直的情形如果两条直线的斜率分别是和，若它们互相垂直，那么；反之也成立。即（和均存在）由直线方程的概念，我们知道，直线上的一点一定与二元一次方程的一组解对应，那么，如果现在有两条直线相交于一点，那么这一点与两条直线的方程又有何关系?如果我们想要在已知两直线方程的前提下求出交点，又应如何求呢?这一交点是否与两直线方程有着一定的关系呢? 二、两条直线是否相交的判断设两条直线和的一般式方程为：，：。如果这两条直线相交，由于交点同时在这两条直线上，交点的坐标一定是这两个方程的惟一公共解，那么以这个解为坐标的

3、点必是直线和的交点。因此，两条直线是否有交点，就要看这两条直线方程所组成的方程组：是否有惟一解若两条直线：，：有交点，则过与交点的直线系方程为＋或＋（λ为任意常数）方程组的解一组无数组无解两条直线的公共点一个无数个零个两条直线的位置关系相交重合平行 三、两点间距离公式初中曾学习过数轴上两点间距离，实际就是求数轴上两点所表示的两个数的差的绝对值。现在我们研究平面内任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）间的距离。如图，由点P1，P2分别作x轴的垂线P1M1，P2M2，与x轴分别交于点M1（x1，0），M2（x2，0）；再由点P1，P2分别作y轴的垂线P1N1，P2N2，与y轴分别交于N1（

4、0，y1），N2（0，y2），直线P1N1，P2M2相交于Q点，则有P1Q＝M1M2＝｜x2－x1｜QP2＝N1N2＝｜y2－y1｜由勾股定理，可得P1P22＝P1Q2＋QP22＝｜x2－x1｜2＋｜y2－y1｜2＝（x2－x1）2＋（y2－y1）2由此得到平面内P1（x1，y1），P2（x2，y2）两点间的距离公式中点坐标公式对于平面上的两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）线段P1P2中点是M，则 四、点到直线距离公式1.如何计算平行四边形的面积呢？1.一般地，已知直线:Ax＋By＋C＝0（A）外一点，如何求点到直线的距离？解：设A≠0，B≠0，这时与轴、轴都相交，过点P作轴的平行线，

5、交于点；作轴的平行线，交于点，由得.所以，｜PＲ｜＝｜｜＝｜PS｜＝｜｜＝｜RS｜＝×｜｜由三角形面积公式可知：·｜RS｜＝｜PR｜·｜PS｜所以可证明，当A＝0或B＝0时，以上公式仍适用。点到直线的距离为：2.两平行线间的距离公式已知两条平行线直线和的一般式方程为：，：，则与的距离为证明：设是直线上任一点，则点P0到直线的距离为又即，∴d＝ 【典型例题】例1.判定下列各对直线的位置关系，如果相交，则求出交点的坐标。（1）：2－＝7 ，：4＋2＝1；（2）：2－6＋4＝0，：＝；（3）：（－1）＋＝3，：＋（＋1）＝2.解：（1）解方程组 ∴两直线交点为（）所以两条直线相交（2）2－6＋4＝0

6、，－3＋2＝0∵方程组有无数组解   ∴两直线重合.（3） 方程组无解∴∥. 例2.求满足下列条件的方程：（1）经过两条直线2－3＋10＝0和3＋4－2＝0的交点，且垂直于直线3－2＋4＝0；（2）经过两条直线2＋－8＝0和－2＋1＝0的交点，且平行于直线4－3－7＝0；（3）经过直线＝2＋3和3－＋2＝0的交点，且垂直于第一条直线.解：（1）解方程组又＝－.∴－2＝－（＋2），即2＋3－2＝0（2）解方程组又＝∴－2＝（－3），即4－3－6＝0（3）解方程组又＝－，∴－5＝－（－1），即＋2－11＝0.例3.求证：不论为什么实数，直线都通过一定点解：∵，∴（x＋2－1）－（x＋－5）＝0，则

7、直线都通过直线＋2－1＝0与＋－5＝0的交点。由方程组，解得＝9，＝－4，即过点（9，－4）所以直线经过定点（9，－4）。 例4.已知点A的坐标为（－4，4），直线的方程为3＋－2＝0，求：（1）点A关于直线的对称点A′的坐标；（2）直线关于点A的对称直线的方程.解：（1）设点A′的坐标为（′，′）.因为点A与A′关于直线对称，所以AA′⊥，且AA′的中点在上，而直线的斜率是－3，所以＝。又因为＝