综合(高中)数学-高中-导数探讨函数图像的交点问题

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1、由2006年高考看如何用导数探讨函数图象的交点问题2006年高考数学导数命题的方向基本没变，主要从五个方面(①与切线有关的问题②函数的单调性和单调区间问题③函数的极值和最值问题④不等式证明问题⑤与函数的单调性、极值、最值有关的参数问题)考查了学生对导数的掌握水平。但是，2006年高考数学导数命题在方向基本没变的基础上，又有所创新。福建理科卷第21题研究两个函数的交点个数问题，福建文科卷第19题研究分式方程的根的分布问题，湖南卷第19题研究函数的交点问题，四川卷第21题研究函数图象的交点个数问题。从以上试卷我们可以发现导数命题创新的两

2、个方面：一是研究对象的多元化，由研究单一函数转向研究两个函数或多个函数，二是研究内容的多元化，由用导数研究函数的性质（单调性、最值、极值）转向运用导数进行函数的性质、函数图象的交点和方程根的分布等的综合研究，实际上就是运用导数考查函数图象的交点个数问题。试题“以能力立意”的意图表现明显，试题注重了创新、开放、探究性，以所学数学知识为基础，对数学问题进行深入探讨，从数学角度对问题进行探究。考查了学生综合与灵活地应用所学的数学思想方法，进行独立的思考、探索和研究，创造性地解决问题的能力。如何运用导数的知识研究函数图象的交点问题呢？下面我

3、们先看一看今年的高考题。 例1（福建理科第21题）已知函数f(x)=－x+8x,g(x)=6lnx+m（Ⅰ）求f(x)在区间[t,t+1]上的最大值h(t);（Ⅱ）是否存在实数m，使得y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围；，若不存在，说明理由。解：（Ⅰ）略（II）∵函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点，∴令f(x)=g(x)∴g(x)－f(x)=0∵x>0∴函数(x)=g(x)－f(x)=2－8x+6lnx+m的图象与x轴的正半轴有且只有三个不同的交点。∵

4、当x∈(0,1)时，〉0，是增函数；当x∈(1,3)时，〈0，是减函数；当x∈(3,+∞)时，〉0，是增函数；当x=1或x=3时，=0。∴j(x)极大值=j(1)=m－7,j(x)极小值=j(3)=m+6ln3－15.∵当x→0时，(x)→，当x时，(x)∴要使(x)=0有三个不同的正实数根，必须且只须∴7

5、只有一个不同的交点”怎么解答呢？前面相同，只需把后面改为m+6In3-15>0或m-7<0，即m>15-6In3或m<7时，函数y=f(x)与y=g(x)的图象有且只有一个不同的交点（分析草图见图2和图3）。引申2：如果（Ⅱ）中“有且只有三个不同的交点”变为“有且只有两个不同的交点”怎么解答呢？前面相同，只需把后面改为m+6In3-15=0或m-7=0，即m=15-6In3或m=7时，函数y=f(x)与y=g(x)的图象有且只有两个不同的交点（分析草图见图4和图5）。图4图5从上题的解答我们可以看出，用导数来探讨函数y=f(x)的图

6、象与函数y=g(x)的图象的交点问题，有以下几个步骤：①构造函数(x)=f(x)－g(x)②求导③研究函数(x)的单调性和极值（必要时要研究函数图象端点的极限情况）④画出函数(x)的草图，观察与x轴的交点情况，列不等式⑤解不等式得解解题的关键是会用数形结合思想来研究问题。下面用这几个步骤来完成2006年四川卷第21题。例2（四川卷第21题）已知函数其中是的f(x)的导函数。（Ⅰ）对满足的一切的值，都有求实数ｘ的取值范围；（Ⅱ）设，当实数ｍ在什么范围内变化时，5函数ｙ＝f(x)的图像与直线ｙ＝3只有一个公共点。解：（Ⅰ）略（Ⅱ）①当时

7、，的图象与直线只有一个公共点②当时，令(x)=f(x)-3=，==列表：（(x)单调递增极大单调递减极小单调递增〈-4又∵(x)的值域是，且在上单调递增∴当时函数的图象与x轴只有一个公共点。当时，恒有由题意得即解得综上，的取值范围是（分析草图见图6）图6当然，题目并不是千篇一律的，也有些变式，但是基本方法没有变化。如：2006年福建文科卷21题。例3（福建文科卷第21题）已知是二次函数，不等式的解集是且5在区间上的最大值是12。（I）求的解析式；（II）是否存在实数使得方程在区间内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出的取值范围；若

8、不存在，说明理由。解：（Ⅰ）f(x)=2(过程略)（II）方程等价于方程设则当是减函数；当时，是减函数；当时，是增函数。（见图7）图7方程在区间内分别有惟一实数根，而在区间内没有实数根，所以存在惟一的自然数使得方程在区间内有且只有两个