以圆为载体的动点问题

以圆为载体的动点问题

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1、以圆为载体的动点问题动点问题是初中数学的一个难点,中考经常考察,有一类动点问题,题中未说到圆,却与圆有关,只要巧妙地构造圆,以圆为载体,利用圆的有关性质,问题便会迎刃而解;此类问题方法巧妙,耐人寻味。例1.在中,AC=5,BC=12,∠ACB=90°,P是AB边上的动点(与点A、B不重合),Q是BC边上的动点(与点B、C不重合),当PQ与AC不平行时,△CPQ可能为直角三角形吗?若有可能,请求出线段CQ的长的取值范围;若不可能,请说明理由。(03年广州市中考)分析:不论P、Q如何运动,∠PCQ都小于∠ACB即小于90°,又因为PQ与AC不平行,所以∠P

2、QC不等于90°,所以只有∠CPQ为直角,△CPQ才可能是直角三角形,而要判断△CPQ是否为直角三角形,只需构造以CQ为直径的圆,根据直径所对的圆周角为直角,若AB边上的动点P在圆上,∠CPQ就为直角,否则∠CPQ就不可能为直角。以CQ为直径做半圆D。①当半圆D与AB相切时,设切点为M,连结DM,则DM⊥AB,且AC=AM=5所以设,则在中,,即解得:,所以即当且点P运动到切点M的位置时,△CPQ为直角三角形。②当时,半圆D与直线AB有两个交点,当点P运动到这两个交点的位置时,△CPQ为直角三角形。③当时,半圆D与直线AB相离,即点P在半圆D之外,0<

3、∠CPQ<90°,此时,△CPQ不可能为直角三角形。所以,当时,△CPQ可能为直角三角形。例2.如图2,直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AD+BC<DC,若腰DC上有动点P,使AP⊥BP,则这样的点有多少个?3分析:由条件AP⊥BP,想到以AB为直径作圆,若CD与圆相交,根据直径所对的圆周角是90°,两个交点即为点P;若CD与圆相切,切点即是点P;若CD与圆相离,则DC上不存在动点P,使AP⊥BP。解:如图3,以AB为直径做⊙O,设⊙O与CD切于点E因为∠B=∠A=90°所以AD、BC为⊙O的切线即AD=DE,BC=CE所以AD+BC=C

4、D而条件中AD+BC<DC,我们把CD向左平移,如图4,CD的长度不变,AD与BC的长度缩短,此时AD+BC<DC,点O到CD的距离OE小于⊙O的半径OE,CD与⊙O相交,和是直径AB所对的圆周角,都为90°,所以交点即为所求。因此,腰DC上使AP⊥BP的动点P有2个。例3.如图5,△ABC的外部有一动点P(在直线BC上方),分别连结PB、PC,试确定∠BPC与∠BAC的大小关系。(02年广州市中考)分析:∠BPC与∠BAC之间没有联系,要确定∠BPC与∠BAC的大小关系,必须找恰当的载体,作为它们之间的桥梁,这道桥梁就是圆,通过构造△ABC3的外接

5、圆,问题就会迎刃而解。(1)当点P在△ABC外接圆外时,如图5,连结BD,根据外角大于任何一个与它不相邻的内角,∠BPC<∠BDC又因为∠BDC=∠BAC,所以∠BPC<∠BAC;(2)当点P在△ABC外接圆上时,如图6,根据同弧所对的圆周角相等,∠BPC=∠BAC;(3)当点P在△ABC外接圆内时,如图7,延长BP交△ABC外接圆于点D,连结CD,则∠BPC>∠BDC,又∠BDC=∠BAC,故∠BPC>∠BAC。综上,知当点P在△ABC外接圆外时,∠BPC<∠BAC;当点P在△ABC外接圆上时,∠BPC=∠BAC;当点P在△ABC外接圆内时,∠BPC

6、>∠BAC。3

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