极坐标系的概念学案

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1、§2极坐标系2．1　极坐标系的概念课标解读1.了解极坐标系的概念．2.理解点的极坐标的不唯一性．3.能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置.1．极坐标系的概念图1－2－1如图1－2－1所示，在平面内取一个定点O，叫作极点，从O点引一条射线Ox，叫作极轴，选定一个单位长度和角的正方向(通常取逆时针方向)．这样就确定了一个平面极坐标系，简称极坐标系．2．极坐标的概念对于平面内任意一点M，用ρ表示线段OM的长，θ表示以Ox为始边、OM为终边的角度，ρ叫作点M的极径，θ叫作点M的极角，有序实数对(ρ，θ)叫作点M的极坐标，记作M(ρ，θ).特别地：当点M在极点时，它的极径ρ＝0，极角θ可以取任意

2、值．3．点与极坐标的关系一般地，极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一个点，特别地：极点O的坐标为(0，θ)(θ∈R)．和点的直角坐标的唯一性不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示．如果规定ρ＞0，0≤θ＜2π，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(ρ，θ)表示；同时，极坐标(ρ，θ)表示的点也是唯一确定的．1．建立极坐标系需要哪几个要素？【提示】　建立极坐标系的要素是(1)极点；(2)极轴；(3)长度单位；(4)角度单位和它的正方向，四者缺一不可．极轴是以极点为端点的一条射线，它与极轴所在的直线是有区别的；极角θ的始边是极轴，它的终边随着θ的大小和正负而取得各个

3、位置；θ的正方向通常取逆时针方向，θ的值一般是以弧度为单位的量数；点M的极径ρ表示点M与极点O的距离

4、OM

5、，因此ρ≥0.但必要时，允许ρ＜0.2．为什么点的极坐标不唯一？【提示】　根据我们学过的任意角的概念：一是终边相同的角有无数个，它们相差2π的整数倍，所以点(ρ，θ)还可以写成(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)；二是终边在一条直线上且互为反向延长线的两角的关系，所以点(ρ，θ)的坐标还可以写成(－ρ，θ＋2kπ＋π)(k∈Z)．3．试探究M(ρ，θ)关于极轴、极点及过极点且垂直于极轴的直线的对称点坐标．【提示】　(ρ，θ)关于极轴的对称点为(ρ，2π－θ)，关于极点的对称点为(ρ，π

6、＋θ)，关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点为(ρ，π－θ).根据点的位置确定点的极坐标　设点A(2，)，直线l为过极点且垂直于极轴的直线，分别求点A关于极轴，直线l，极点的对称点的极坐标(限定ρ>0,0<θ≤2π)．【思路探究】　欲写出点的极坐标，首先应确定ρ和θ的值．【自主解答】如图所示，关于极轴的对称点为B(2，π)．关于直线l的对称点为C(2，π)．关于极点O的对称点为D(2，)．四个点A，B，C，D都在以极点为圆心，2为半径的圆上．1．点的极坐标不是唯一的，但若限制ρ>0,0≤θ<2π，则除极点外，点的极坐标是唯一确定的．2．写点的极坐标要注意顺序：极径ρ在前，极角θ在后，

7、不能颠倒顺序．若使正六边形的一个顶点为极点，极轴通过它的一边，试求正六边形各顶点的坐标．【解】　建立如图所示的极坐标系，则正六边形各顶点的坐标为：A(0,0)，B(a,0)，C(a，)，D(2a，)，E(a，)，F(a，π).由极坐标确定点的位置　在极坐标系中，作出以下各点：A(4,0)，B(3，)，C(2，)，D(3，)．【思路探究】　建立极坐标系作出极角的终边以极点O为圆心，以极径为半径分别画弧―→点的位置【自主解答】　如图，A，B，C，D四个点分别是唯一确定的．由极坐标确定点的位置的步骤：①取定极点O；②作方向为水平向右的射线Ox为极轴；③以极点O为顶点，以极轴Ox为始边，通常

8、按逆时针方向旋转极轴Ox确定出极角的终边；④以极点O为圆心，以极径为半径画弧，弧与极角终边的交点即是所求点的位置．在同一个极坐标系中，画出以下各点：A(1，)，B(2，π)，C(3，－)，D(4，π)．【解】　如图所示．极坐标系的实际应用　某大学校园的部分平面示意图如图1－2－2所示．图1－2－2用点O、A、B、C、D、E、F分别表示校门、器材室、公寓、教学楼、图书馆、车库、花园，建立适当的极坐标系，写出各点的极坐标．(限定ρ≥0,0≤θ＜2π且极点为(0,0))．【思路探究】　解答本题先选定极点作极轴，建立极坐标系，再求出各点的极径和极角，即可得出各点的极坐标．【自主解答】　以点O

9、为极点，OA所在的射线为极轴Ox(单位长度为1m)，建立极坐标系，如图所示．由

10、OB

11、＝600m，∠AOB＝30°，∠OAB＝90°，得

12、AB

13、＝300m，

14、OA

15、＝300m，同样求得

16、OD

17、＝2

18、OF

19、＝300m，所以各点的极坐标分别为O(0,0)，A(300，0)，B(600，)，C(300，)，D(300，)，E(300，π)，F(150，)．在极坐标系中，由点的位置求极坐标时，随着极角的范围的不同，点的极坐标的表示也会不同，只有在ρ＞0，θ∈[0,