数系的扩充与复数引入的教案

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1、3.1.1数系的扩充和复数的概念【教学目标】1.了解解方程等实际需要也是数系发展的一个主要原因,数集的扩展过程以及复数的分类表;2.理解复数的有关概念以及符号表示;3.掌握复数的代数表示形式及其有关概念;4.在问题情境中了解数系得扩充过程,体会实际需求与数学内部的矛盾(数的运算规则、方程求根)在数系扩充过程中的作用,感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系.【教学重点】引进虚数单位i的必要性、对i的规定以及复数的有关概念.【教学难点】复数概念的理解.知识形成过程:1.对数集因生产和科学发展的需要而逐步扩充的过程

2、进行概括(教师引导学生进行简明扼要的概括和总结)自然数→分数→负数→整数→有理数→无理数→实数2.提出问题我们知道,对于实系数一元二次方程,没有实数根.我们能否将实数集进行扩充,使得在新的数集中,该问题能得到圆满解决呢?3.组织讨论,研究问题我们说,实系数一元二次方程没有实数根.实际上,就是在实数范围内,没有一个实数的平方会等于负数.解决这一问题,其本质就是解决一个什么问题呢?组织学生讨论,引导学生研究,最后得出结论:最根本的问题是要解决-1的开平方问题.即一个什么样的数,它的平方会等于-1.4.引入新数,并给出它

3、的两条性质根据前面讨论结果,我们引入一个新数,叫做虚数单位,并规定:(1);(2)实数可以与它进行四则运算,进行四则运算时,原有的加、乘运算律仍然成立.有了前面的讨论,引入新数,可以说是水到渠成的事.这样,就可以解决前面提出的问题(-1可以开平方,而且-1的平方根是).5.提出复数的概念根据虚数单位的第(2)条性质,可以与实数b相乘,再与实数a相加.由于满足乘法交换律及加法交换律,从而可以把结果写成这样,数的范围又扩充了,出现了形如的数,我们把它们叫做复数.全体复数所形成的集合叫做复数集,一般用字母C表示,显然有:

4、N*NZQRC.【巩固练习】下列数中,哪些是复数,哪些是实数,哪些是虚数,哪些是纯虚数?并分别指出这些复数的实部与虚部各是什么?,,,,),,,例1.实数m分别取什么值时,复数z=m+1+(m-1)i是(1)实数?(2)虚数?(3)纯虚数?例2、当m为何实数时,复数(1)实数(2)虚数(3)纯虚数6.提出两个复数相等的定义,即两个复数相等的充要条件是它们的实部与虚部分别对应相等.也就是由此容易得出:例3、已知,其中,x,yR,求x与y.练习:1、若x,y为实数,且,求。2、求的值。3、思考:两个复数是否可以比较大小

5、.【归纳总结】一、数系的扩充;二、复数有关的概念:1、复数的代数形式;2、复数的实部、虚部。3、虚数、纯虚数;4、复数的相等.课后作业:课本P112,习题3.1

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