函数的单调性与导数

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1、1.3　导数在研究函数中的应用1．3.1　函数的单调性与导数1．在下列结论中，正确的有(　　)．(1)单调增函数的导数也是单调增函数；(2)单调减函数的导数也是单调减函数；(3)单调函数的导数也是单调函数；(4)导函数是单调的，则原函数也是单调的．A．0个B．2个C．3个D．4个解析　分别举反例：(1)y＝lnx．　(2)y＝(x>0)．(3)y＝2x.　(4)y＝x2，故选A.答案　A2．函数y＝x2－lnx的单调减区间是(　　)．A．(0,1)B．(0,1)∪(－∞，－1)C．(－∞，1)D．(－∞，＋∞)解析　∵

2、y＝x2－lnx的定义域为(0，＋∞)，∴y′＝x－，令y′<0，即x－<0，解得：00，∴0

3、_．解析　f′(x)＝，令f′(x)<0得x<－1或0.答案　(0，＋∞)6．已知x>1，证明：x>ln(1＋x)．证明　设f(x)＝x－ln(1＋x)(x>1)，f′(x)＝1－＝，由x>1，知f′(x)>0.

4、∴f(x)在(1，＋∞)上单调递增．又f(1)＝1－ln2>0，即f(1)>0.∵x>1，∴f(x)>0，即x>ln(1＋x)．7．当x>0时，f(x)＝x＋的单调递减区间是(　　)．A．(2，＋∞)B．(0,2)C．(，＋∞)D．(0，)解析　f′(x)＝1－＝＝.由f′(x)<0且x>0得0

5、调递减；当x>0时，由导函数f′(x)＝ax2＋bx＋c的图象可知，导数在区间(0，x1)内的值是大于0的，则在此区间内函数f(x)单调递增．只有D选项满足题意．答案　D9．使y＝sinx＋ax为R上的增函数的a的范围是________．解析　∵y′＝cosx＋a>0，∴a>－cosx，对x∈R恒成立．∴a>1.答案　(1，＋∞)10．已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)＝________.解析　∵f(x)＝x2＋2xf′(x)，∴f′(x)＝2x＋2f′(1)，∴f′(1)＝2×1＋2f(1)，∴f′(1

6、)＝－2.∴f′(0)＝2×0＋2f′(1)＝2×(－2)＝－4.答案　－411．已知函数f(x)＝x3＋ax＋8的单调递减区间为(－5,5)，求函数y＝f(x)的递增区间．解　f′(x)＝3x2＋a.∵(－5,5)是函数y＝f(x)的单调递减区间，则－5,5是方程3x2＋a＝0的根，∴a＝－75.此时f′(x)＝3x2－75，令f′(x)>0，则3x2－75>0，解得x>5或x<－5，∴函数y＝f(x)的单调递增区间为(－∞，－5)和(5，＋∞)．12．(创新拓展)求下列函数的单调区间，并画出大致图象：(1)y＝x＋

7、；　(2)y＝ln(2x＋3)＋x2.解　(1)函数y＝x＋的定义域为{x

8、x∈R，且x≠0}．∵y＝x＋，∴y′＝1－.当y′＞0，即x＞3或x＜－3时，函数y＝x＋单调递增；当y′＜0，即－3＜x＜0或0＜x＜3时，函数y＝x＋单调递减．故函数y＝x＋的单调递增区间为(－∞，－3)，(3，＋∞)，单调递减区间为(－3,0)，(0,3)．函数y＝x＋的大致图象如图(1)所示．(2)函数y＝ln(2x＋3)＋x2的定义域为.∵y＝ln(2x＋3)＋x2，∴y′＝＋2x＝＝.当y′＞0，即－＜x＜－1或x＞－时，函数y＝

9、ln(2x＋3)＋x2单调递增；当y′＜0，即－1＜x＜－时，函数y＝ln(2x＋3)＋x2单调递减．故函数y＝ln(2x＋3)＋x2的单调递增区间为，，单调递减区间为.函数y＝ln(2x＋3)＋x2的大致图象如图(2)所示.