高二数学奥赛讲义

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1、高二数学奥赛讲义一、整除1.整数的简单性质（1）素数与合数；仅有1和它本身这两个正因数且大于1的整数叫素数（或质数），一个正整数除1和它本身以外，还有其他正因数的数叫做合数，1既不是素数也不是合数.{正整数}={1}{素数}{合数}.（2）互素；如果两个整数与没有共同的素因数，则称与互素，记为（，）=1.（3）设a为大于1的整数，则a的大于1的最小因数一定是素数.（4）设a为大于1的整数，若对所有不大于的素数，有？（表示a不被整除），则a是素数.2.整数的奇偶性（1）能被2整除的数称偶数，可表示为的形式；不

2、能被2整除的数称为奇数，可表示为的形式.（2）奇数与偶数的性质：①奇数偶数；②奇数个奇数之和为奇数，偶数个奇数之和这偶数，奇数加偶数为奇数，偶数加偶数为偶数；③两数和与两数差的奇偶性相同；④积为奇数的充要条件是各个因数均为奇数；⑤偶数与任何整数的乘积都为偶数；⑥个偶数的积为的倍数.3.带余除法若是两个整数，，则一定有且只有两个整数，，使得成立.时，称整除，记作.（1）若两个整数与被除的余数相同，则，则与被除的余数相同；（2）n个连续整数中有且仅有一个是n的倍数；（3）设b是整数，则任意个整数中，至少有两个数

3、被b除的余数相同.4.整除的性质设为的最大公因数，记为的最小公倍数，记为，整除有以下性质；（1）若；（2）若；（3）若（4）若（5）若（6）若（7）若；（8）若则；（9）若且是的公因数，则（10）[]；（11）；（12）若为素数，例1.证明：对于任何自然数,数都不能分解成若干个连续的正整数之积.例2.设是1，2，，7的一个排列，求证：必是偶数.例3.若三个大于3的素数满足关系式11例4.试求出所有的正整数，其中的因数.例5.设是正整数，能被24整除，求所有这样的的个数.二、同余定义设是一个给定的正整数，如果

4、两个整数除所得的余数相同，则称对模同余，记为同余的基本性质（1）反身性：.（2）对称性：若，则.（3）传递性：若.（4）若（5）若（6）若.（7）若（8）若（9）若（10）完全平方数模4同余于0或1；模8同余于0，1或4；模3同余于0或1；模5同余于0，1或-1，完全立方数模9同余于0，1或-1，整数的四次方模16同余于0，1.例1.求的个位数字是？例2.若，且都是完全平方数，那么必为40的倍数.例3.设具有下列两条性质；（1）对任何恒有（2）.证明：G中的奇数的个数是4的倍数，且G中所有数字的平方和为一个

5、定值.11例4.写出所有的由3个素数组成公差为8的等差数列.三、抽屉原理抽屉原理又称为鸽笼原理或狄利克雷原理，它是数学中证明存在性的一种特殊方法.定理1把个元素分成n个集合，其中必有一个集合至少含有个元素.定理1还有无限形式，但不管是有限还是无限形式，我们考虑的总是元素多的集合，其实元素少的集合有时也很有用，所以抽屉原理还有另一种形式；定理2把个元素分成n个集合，其中必有一个集合至多含有个元素.我们将从数论、集合、几何、三角不等式证明等来说明抽屉原理的应用.利用抽屉原理解题，关键是构造合适的抽屉.例1.设为

6、无理数.证明：对任意的正整数n，存在整数，满足例2.求所有的正整数n，使得集合的任意35元子集至少存在两个不同的元素a.b满足例3.设有六个点，每两点之间用红色或蓝色线段相连，且任意三点不共线，求证：总可以找到三个点，以这三点构成的三角形的三边涂有相同的颜色.例4.在中，求证：变式：在中，求证：11四、客斥原理客斥原理，又称为包容排斥原理或逐步淘汰原理.顾名思义，即先计算一个较大集合的元素的个数，再把多计算的那一部分去掉.它由英国数学家J.J.西尔维斯特首先创立.当是有限集合A的一个分划，即这时我们有这实际

7、上是组合计数中的加法原理.但当时，又该如何计数呢？这就有下面的所谓的容斥原理.容斥原理设为集合A的有限子集，其元素个数分别为，，，，则由集合知识，有从而容斥原理还有另一种表现形式容斥原理可用数学归纳法证明.对于n=2的情形，可以用组合恒等式证明中的“贡献法”来证明。所谓贡献法，就是要计算可以考虑所有元素对的贡献；如果，则x对的贡献为1，否则贡献为0，这样只要考虑每个元素对等式的左右两端的贡献是否相等.容斥原理是解决有限集合计数问题的重要原理之一，也常常用在重复组合、不定方程的解、错位排列、禁位排列等计数问题

8、上.用容斥原理解决这些问题的关键是用集合语言或符号语言将所要解决的问题表示出来.例1.用1，2，3，4，5这5个数字，可以组成比20000大并且百位数不是3的没有重复数字的五位数的个数.例2.从自然数列1，2，3，4，5，中依次划去3的倍数和4的倍数，但是其中凡是5的倍数均保留.划完后剩下的数依次构成一个新的数列：求例3.在一次数学演讲中，有5个数学家打瞌睡.每人恰好睡了两次.每两个人都在某时刻同时瞅着了.求证：