一轮复习配套义：第8篇第6讲双曲线

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1、第6讲　双曲线[最新考纲]1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)．2．了解双曲线的实际背景及双曲线的简单应用．3．理解数形结合的思想.知识梳理1．双曲线的定义平面内动点P与两个定点F1，F2(

2、F1F2

3、＝2c＞0)的距离之差的绝对值为常数2a(2a＜2c)，则点P的轨迹叫双曲线．这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程－＝1(a>0，b>0)－＝1(a>0，b>0)性　　质范　围x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴

4、；对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±xy＝±x离心率e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长

5、A1A2

6、＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长

7、B1B2

8、＝2b；a叫做双曲线的半实轴长，b叫做双曲线的半虚轴长a，b，c的关系c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)辨析感悟1．对双曲线定义的认识(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线．(×)(2)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的

9、轨迹是双曲线．(×)2．对双曲线的标准方程和几何性质的理解(3)方程－＝1(mn＜0)表示焦点在x轴上的双曲线．(×)(4)(2013·新课标全国Ⅰ卷改编)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，则C的渐近线方程为y＝±x.(×)(5)(2013·陕西卷改编)双曲线－＝1的离心率为，则m等于9.(√)(6)若直线与双曲线交于一点，则直线与双曲线相切．(×)[感悟·提升]1．一点提醒　双曲线定义中的“差”必须是“绝对值的差”，常数必须小于

10、F1F2

11、且大于零，如(1)中应为双曲线的一支；如(2)中应为两条射线．2．二个防范　一是双曲线－＝1(a＞

12、0，b＞0)的渐近线方程为y＝±x，而双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±x，应注意其区别与联系，如(4)；二是直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点，如(6)．考点一　双曲线的定义及应用【例1】(1)若双曲线－＝1上的一点P到它的右焦点的距离为8，则点P到它的左焦点的距离是(　　)．A．4B．12C．4或12D．6(2)已知F为双曲线C：－＝1的左焦点，P，Q为C上的点．若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5,0)在线段

13、PQ上，则△PQF的周长为________．解析　(1)由题意知c＝＝4，设双曲线的左焦点为F1(－4,0)，右焦点为F2(4,0)，且

14、PF2

15、＝8.当P点在双曲线右支上时，

16、PF1

17、－

18、PF2

19、＝4，解得

20、PF1

21、＝12；当P点在双曲线左支上时，

22、PF2

23、－

24、PF1

25、＝4，解得

26、PF1

27、＝4，所以

28、PF1

29、＝4或12，即P到它的左焦点的距离为4或12.(2)由－＝1得a＝3，b＝4，c＝5.∴

30、PQ

31、＝4b＝16>2a.又∵A(5,0)在线段PQ上，∴P，Q在双曲线的右支上，且PQ所在直线过双曲线的右焦点，由双曲线定义知∴

32、PF

33、＋

34、QF

35、＝28.∴

36、△PQF的周长是

37、PF

38、＋

39、QF

40、＋

41、PQ

42、＝28＋16＝44.答案　(1)C　(2)44规律方法(1)双曲线定义的集合语言：P＝{M

43、

44、

45、MF1

46、－

47、MF2

48、

49、＝2a,0＜2a＜

50、F1F2

51、}是解决与焦点三角形有关的计算问题的关键，切记对所求结果进行必要的检验．(2)利用定义解决双曲线上的点与焦点的距离有关问题时，弄清点在双曲线的哪支上．【训练1】(1)(2014·大连模拟)设P是双曲线－＝1上一点，F1，F2分别是双曲线左、右两个焦点，若

52、PF1

53、＝9，则

54、PF2

55、＝(　　)．A．1B．17C．1或17D．以上答案均不对(2)已知F是双曲线－＝1的左

56、焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则

57、PF

58、＋

59、PA

60、的最小值为(　　)．A．5B．5＋4C．7D．9解析　(1)由双曲线定义

61、

62、PF1

63、－

64、PF2

65、

66、＝8，又

67、PF1

68、＝9，∴

69、PF2

70、＝1或17，但应注意双曲线的右顶点到右焦点距离最小为c－a＝6－4＝2>1，∴

71、PF2

72、＝17.(2)如图所示，设双曲线的右焦点为E，则E(4,0)．由双曲线的定义及标准方程得

73、PF

74、－

75、PE

76、＝4，则

77、PF

78、＋

79、PA

80、＝4＋

81、PE

82、＋

83、PA

84、.由图可得，当A，P、E三点共线时，(

85、PE

86、＋

87、PA

88、)min＝

89、AE

90、＝5，从而

91、PF

92、＋

93、PA

94、的最小值为9.答

95、案　(1)B　(2)D考点二　求双曲线的标准方程【例2】(1)已知双曲线－＝1(