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《高中数学第2章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.2间接证明课堂导学案苏教版选修1-2》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2018年苏教版高中数学选修1-2课堂导学案2.2.2间接证明课堂导学三点剖析各个击破一、证明数学中的基础命题宜用反证法【例1】求证:质数有无穷多.证明：如果质数的个数有限,那么我们可以将全体质数列举如下:p1,p2,…,pk,令q=p1p2…pk+1.q总是有质因数的,但我们可证明任何一个pi(1≤i≤k)都除不尽q.假若不然,由pi除尽q,及pi除尽p1,p2,…pk,可得到pi除尽(q-p1p2…pk),即pi除尽1,这是不可能的.故任何一个pi都除不尽q.这说明q有不同于p1,p2,…,pk的质因数.这与只有p1,p2
2、,…,pk是全体质数的假定相矛盾.所以质数有无穷多.温馨提示用反证法证明结论是B的命题,其思路是:假定B不成立,则B的反面成立,然后从B的反面成立的假定出发,利用一些公理,定理,定义等作出一系列正确的推理,最后推出矛盾的结果,从而判断“假设B不成立”是错误的.则B成立.类题演练1证明:1,,2不能为同一等差数列的三项.证明：假设1，，2为某一等差数列的三项，设这一等差数列的公差为d，则1=-md,2=+nd，其中m,n为某两个正整数，由上面两式消去d，得2m+n=(m+n),因为n+2m为有理数，而（m+n）为无理数，所以
3、n+2m≠(n+m),因此假设不成立，即1，，2不能为同一等差数列的三项.变式提升 1a、b是平面内的两条直线,求证:它们最多有一个交点.证明：假设直线a、b至少有两个交点A和B，则通过不同的两点有两条直线，这就与公理“经过两点有且只有一条直线”相矛盾，所以平面内的两条直线最多有一个交点.二、某些数学问题的证明可用反证法【例2】已知a、b、c∈(0,1),求证:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能同时大于.证法一:假设三同时大于,即(1-a)b＞,(1-b)c＞,(1-c)a＞,三相乘,得:(1-a)a·(1-b)b·
4、(1-c)c＞.又(1-a)a≤()2=.32018年苏教版高中数学选修1-2课堂导学案同理,(1-b)b≤,(1-c)c≤.以上三相乘得(1-a)a(1-b)b(1-c)c≤,这与(1-a)a(1-b)b(1-c)c＞矛盾,故结论得证.证法二:假设三同时大于.∵0＜a＜1,∴1-a＞0..同理,.三相加得矛盾,∴原命题成立.温馨提示要想得到原命题相反的判断,必先弄清原命题的含义,一般讲,如“是”的反面是“不是”，“有”的反面是“没有”，“等”的反面是“不等”，“成立”的反面是“不成立”，“有限”的反面是“无限”，以上这些都是
5、相互否定的字眼，较为易找，应注意以下的否定：“都是”的反面为“不都是”，即“至少有一个不是”（不是“都不是”）；“都有”的反面为“不都有”，即“至少一个没有”（不是“都没有”）；“都不是”的反面为“部分是或全部是”，即“至少有一个是”（不是“都是”）；“都没有”的反面为“部分有或全部有”，即“至少一个有”（不是“都有”）.类题演练2命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是（ ）A.有两个内角是直角B.有三个内角是直角C.至少有两个内角是直角D.没有一个内角是直角解析：“最多只有一个”即“只有一个或没有”，它的反面
6、应是“有两个或有三个”.答案：C变式提升 2已知a是整数,a2是偶数,求证:a也是偶数.证明：假设a不是偶数，则a为奇数.设a=2m+1(m为整数)，则a2=4m2+4m+1.∵4(m2+m)是偶数，∴4m2+4m+1为奇数，即a2为奇数与已知矛盾.∴a一定是偶数.三、综合应用【例3】证明方程2x=3有且只有一个根.证明：∵2x=3,∴x=log23.这说明方程有一个根.下面用反证法证明方程2x=3的根是唯一的.假设方程2x=3有两个根b1、b2(b1≠b2),32018年苏教版高中数学选修1-2课堂导学案则2b1=3,2b2
7、=3.两相除,得2b1-b2=1.如果b1-b2＞0,则2b1-b2＞1,这与2b1-b2=1相矛盾;如果b1-b2＜0,则2b1-b2＜1,这也与2b1-b2=1相矛盾.因此b1-b2=0,则b1=b2.这就同b1≠b2相矛盾.如果方程的根多于两个,同样可推出矛盾.故2x=3有且只有一个根.温馨提示“有且只有”表示“存在且唯一”因此,在证明此类问题时要分别从存在性和唯一性两方面来考虑,而证明唯一性时,通常使用反证法.类题演练3已知平面M内有两相交直线a、b(交点为P)和平面N平行.求证:平面M∥平面N.证明：假设平面M不平行
8、平面N，则M和N一定相交，设交线为c.∵a∥平面N，∴a∥c.同理b∥c.则过c外一点P有两条直线与c平行.这与公理“过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行”相矛盾.所以假设不成立.所以平面M∥平面N.变式提升 3直线a∥平面M,平面N过a且和平面M相交于直线b,求证:a
