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1、工程数学--线性代数课后题答案_第五版第二章 矩阵及其运算13.已知线性变换:,求从变量x1,x2,x3到变量y1,y2,y3的线性变换.解由已知:,故,.3.已知两个线性变换,,求从z1,z2,z3到x1,x2,x3的线性变换.解由已知,所以有.2.设,,求3AB-2A及ATB.解,.1.计算下列乘积:(1);解.(2);解=(1´3+2´2+3´1)=(10).(3);解.(4);解.(5);解=(a11x1+a12x2+a13x3a12x1+a22x2+a23x3a13x1+a23x2+a33x3).4.设,,问:(1)AB=BA
2、吗?解AB¹BA.因为,,所以AB¹BA.(2)(A+B)2=A2+2AB+B2吗?解(A+B)2¹A2+2AB+B2.因为,,但,所以(A+B)2¹A2+2AB+B2.(3)(A+B)(A-B)=A2-B2吗?解(A+B)(A-B)¹A2-B2.因为,,,而,故(A+B)(A-B)¹A2-B2.5.举反列说明下列命题是错误的:(1)若A2=0,则A=0;解取,则A2=0,但A¹0.(2)若A2=A,则A=0或A=E;解取,则A2=A,但A¹0且A¹E.(3)若AX=AY,且A¹0,则X=Y.解取,,,则AX=AY,且A¹0,但X¹Y.
3、6.设,求A2,A3,×××,Ak.解,,××××××,.7.设,求Ak.解首先观察,,,,××××××,.用数学归纳法证明:当k=2时,显然成立.假设k时成立，则k+1时，,由数学归纳法原理知:.8.设A,B为n阶矩阵，且A为对称矩阵，证明BTAB也是对称矩阵.证明因为AT=A,所以(BTAB)T=BT(BTA)T=BTATB=BTAB,从而BTAB是对称矩阵.9.设A,B都是n阶对称矩阵，证明AB是对称矩阵的充分必要条件是AB=BA.证明充分性:因为AT=A,BT=B,且AB=BA,所以(AB)T=(BA)T=ATBT=AB,即AB
4、是对称矩阵.必要性:因为AT=A,BT=B,且(AB)T=AB,所以AB=(AB)T=BTAT=BA.10.求下列矩阵的逆矩阵:(1);解.
5、A
6、=1,故A-1存在.因为,故.(2);解.
7、A
8、=1¹0,故A-1存在.因为,所以.(3);解.
9、A
10、=2¹0,故A-1存在.因为,所以.(4)(a1a2×××an¹0).解,由对角矩阵的性质知.11.解下列矩阵方程:(1);解.(2);解.(3);解.(4).解.12.利用逆矩阵解下列线性方程组:(1);解方程组可表示为,故,从而有.(2).解方程组可表示为,故,故有.14.设Ak=O(k为
11、正整数),证明(E-A)-1=E+A+A2+×××+Ak-1.证明因为Ak=O,所以E-Ak=E.又因为E-Ak=(E-A)(E+A+A2+×××+Ak-1),所以(E-A)(E+A+A2+×××+Ak-1)=E,由定理2推论知(E-A)可逆,且(E-A)-1=E+A+A2+×××+Ak-1.证明一方面,有E=(E-A)-1(E-A).另一方面,由Ak=O,有E=(E-A)+(A-A2)+A2-×××-Ak-1+(Ak-1-Ak)=(E+A+A2+×××+Ak-1)(E-A),故(E-A)-1(E-A)=(E+A+A2+×××+Ak-1
12、)(E-A),两端同时右乘(E-A)-1,就有(E-A)-1(E-A)=E+A+A2+×××+Ak-1.15.设方阵A满足A2-A-2E=O,证明A及A+2E都可逆,并求A-1及(A+2E)-1.证明由A2-A-2E=O得A2-A=2E,即A(A-E)=2E,或,由定理2推论知A可逆,且.由A2-A-2E=O得A2-A-6E=-4E,即(A+2E)(A-3E)=-4E,或由定理2推论知(A+2E)可逆,且.证明由A2-A-2E=O得A2-A=2E,两端同时取行列式得
13、A2-A
14、=2,即
15、A
16、
17、A-E
18、=2,故
19、A
20、¹0,所以A可逆,而A
21、+2E=A2,
22、A+2E
23、=
24、A2
25、=
26、A
27、2¹0,故A+2E也可逆.由A2-A-2E=OÞA(A-E)=2EÞA-1A(A-E)=2A-1EÞ,又由A2-A-2E=OÞ(A+2E)A-3(A+2E)=-4EÞ(A+2E)(A-3E)=-4E,所以(A+2E)-1(A+2E)(A-3E)=-4(A+2E)-1,.16.设A为3阶矩阵,,求
28、(2A)-1-5A*
29、.解因为,所以=
30、-2A-1
31、=(-2)3
32、A-1
33、=-8
34、A
35、-1=-8´2=-16.17.设矩阵A可逆,证明其伴随阵A*也可逆,且(A*)-1=(A-1)*.证明由,得A*=
36、
37、A
38、A-1,所以当A可逆时,有
39、A*
40、=
41、A
42、n
43、A-1
44、=
45、A
46、n-1¹0,从而A*也可逆.因为A*=
47、A
48、A-1,所以(A*)-1=
49、A
50、-1A.又,所以(A*)-1=
51、A
52、-1A=
53、A
54、-1
55、A
56、(
