上半连续和下半连续教案

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1、函数的上、下半连续性一、上、下半连续性的定义设函数在集合上有定义，为的一个聚点。在处连续，用语言描述，即：当时，有若将此条件减弱，在不等式中，只使用其中的一个不等式，那么就得到半连续。定义设在及其附近有定义，所谓在处上半连续，是指：当时，恒有。在处下半连续，是指：当时，恒有。推论在及其附近有定义，则在处连续的充要条件是，在处既上半连续又下半连续。例1函数①在有理点处上半连续，但不下半连续。②在无理点的情况恰恰相反。例2考虑函数。①当时，跟的结论一样，②当时，跟的结论相反，③当时，既上半连续又下半连续，因而在处连续。例3函数①在无理点处既上半连续又下半连续。②在有理点处上半连续

2、，但不下半连续。二、上、下半连续性的等价描述定理1设在集合上有定义，为的一个聚点且。则如下断言等价：、在处上半连续（即：当时，恒有）、、，必有证明：明显，因当时，有对上式取极限，并注意的任意性，即得。由，直接可得。（用反证法）设在处不上半连续，则，使得。这与已知条件矛盾。当且仅当集合中处处上（下）半连续时称在中上（下）半连续。定理2设为闭集，在上有定义，则在中上半连续的充要条件是：，集合为闭集。证明必要性为了证明为闭集，即要证明，必有，此时，而为闭集，所以。要证，只要证。事实上，由知，从而有。因在上半连续，根据定理1有充分性（反证法）若不在中上半连续，则至少存在一点，在不上半

3、连续，即，但。取数，使，于是根据的定义但（当），为闭集，应有矛盾，证毕。注（1）上半连续与下半连续是对偶的概念。一方有什么结论，另一方也有相应的结论。定理2的对偶结论留给学生做为习题。（2）定理2给出了半连续的又一等价形式，其中未用语言，只用了闭集的概念。这为半连续推广到一般拓扑空间，作了准备。三、上、下半连续的性质1、运算性质定理3（1）若在，函数,上、下半连续，则它们的和亦在中上、下半连续。（2）若在上上下半连续，则-在中为下、上半连续。（3）若在上，函数及，且上半连续（或及，且下半连续）则它们的积·在上为上半连续。若上、下半连续，为下（上）半连续，则·下（上）半连续。（

4、4）若在上，上（下）半连续，则在上为下（上）半连续。这里只对（1）中上半连续的情况进行证明，证法1（利用半连续的定义）因,上半连续，当时有所以故在上上半连续。证法2（利用上半连续的等价描述）因,在中上半连续，有（定理1）但故在中上半连续。2、保号性上半连续函数有局部保负性（即：若在处上半连续，，则，使得时有）。同样，下半连续函数有局部保正性，这些由定义直接可得。3、无介值性半连续函数，介值定理不成立。例如：在上是上半连续的，但，无使得=。4、关于的界定理4有界闭区间上的上半连续函数，必有上界，且达到上确界，具体来说，若在上上半连续，则（1）在上有上界（使）。（2）在上达到上确

5、界（即使得）证明先证明（1）（反证法）若无界，则，使得由致密性原理，在中存在收敛的子序列，使（当）。因为闭的，故，但，当时，，所以。但在上上半连续，应有，故=+矛盾。下证（2）因上有界，，若在上达不到上确界，则所以在上上半连续（定理3），从而有上界，即使有即：这与矛盾。证法2利用有限覆盖定理进行证明。思考题：对于下半连续相应的定理如何叙述？若把闭区间改为任意的闭集合，结论是否正确。事实上，上面的定理4可做如下推广。定理：假定为紧集，是上半连续的，则在上必有最大值。证明：因是上半连续的实值函数故，必在的某一邻域内有上界，故，必在的某一邻域内有上确界，设在的邻域内的上确界为构造邻

6、域簇，显然而由条件为紧集，故存在自然数使得：用分别表示在中的上确界，其中令显然必为在上的最大值。定理5若函数在内半连续，则必存在内闭区间，使在上保持有界。证：以下半连续为例进行证明。设在内下半连续，来证使得在上有界，用反证法，设，总在上无上界，于是：1、使得，因下半连续，故（不妨令），使得且有2、因在任何内闭区间上无上界，所以对，使得进而由的下半连续性，知（不妨令）使得时，有。3、如此继续下去，我们得到一串闭区间：，区间长（当时）且在每个区间上，恒有。4、根据区间套定理。因此，矛盾。我们已经知道，连续函数单调序列的极限不一定是连续的。例如在上连续，当增加时单调下降有极限但极限

7、函数在上不连续。定理6（保半连续性）设函数在上有定义，且上半连续，即：且。则在上上半连续。证明（我们的任务在于证明：，当时有）1、，因，所以，，当时有2、将固定，因在上上半连续，所以，当时有。3、又，，故更有这就证明了在上上半连续。下面，我们提出相反的问题：是否半连续函数一定可以作为连续函数的单调极限呢？回答是肯定的。定理7设在上有定义，且上半连续，则存在一个递减的连续函数序列使得（即：上半连续函数，总可用连续函数从上方逼近）证明首先构造函数序列，然后证明连续，，有下界，从而，然后证明。1、构造（）对于