同底数的指对数函数图像的交点个数2

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1、2010年数联天地讲座部分——西西“例5分别就a=2，a=和a=画出函数y=ax，y=logax的图象，并求方程ax=logax解的个数．”按常规教学方法，本节课很难实施教学，主要是因为学生难以准确地作出这些图象，如当a=时，学生怎会知道y=ax的图象就与y=x有两个交点呢？那么，本节课应如何组织教学呢？建议分下面三个过程：一、在想象中让学生充分暴露“主观错误”若没有课本中的图象“暗示”，有很多学生常常通过以下的作图（主观想象）进行判断：作出a>1时y=ax与y=logax的图象如图(1)所示，因它们没有公共点，所

2、以当a>1时，方程ax=logax无解；作出0

3、义坐标系”，点“图表”中的“隐藏网格”；（2）在（左边）工具栏中点“点工具”，在平面内任意点一个“点A”，再点“度量”中的“纵坐标”，出现“yA=…”；（3）在工具栏中点“文本工具”，用标鼠左键双击“点A”，将对话框中的“A”改为“a”，再用标鼠左键双击“yA=…”；在对话框中输入“a”后确定；（4）在工具栏中点“选择箭头工具”，点“图表”中的“新建函数”，在对话框中，点刚确定的纵坐标“a”，再点“^x”后“确定”，即得到；（5）点“图表”中的“新建函数”，在对话框中，点“函数”中“新建计算”上的“log”、“x”

4、、“）”、“÷”、“log”、“a”后“确定”，即得到“”，它即为；（6）选中“”和“”，点“图表”中的“绘制函数”，即得到与的图象；（7）上下移动“点a”，观察两条曲线，总结当a从0到1依次变化及a6再从1到+∞依次变化时，两条曲线的交点情况。由于当a大于1而“趋近1”时，曲线y=ax的“增长速度比较缓慢”，则y=ax的图象与直线y=x的图象有交点，立即发现开始的答案有问题．事实上，当a=时，过点(2，2)，又过点(4，4)，则曲线y=ax与y=logax有两个公共点（如图(3)所示），可见原来的认识确实错了．不

5、难发现，当曲线y=ax与y=x相切时，曲线y=ax与y=logax有且只有一个公共点(如图(4)所示)，由此可知，当a>1时，方程ax=logax的解可能有2个、1个或0个．受以上启发，让我们再来仔细观察图(2)，即当0

6、点（如图(5)所示），而不是学生通常想象中的只有一个公共点！由此说明，当00，且a≠1)解的个数．下面我们用代数方法推导说明它们的解的个数．1．a>1时方程ax=logax

7、的解先求如图(4)所示曲线y=ax与y=logax相切时a的值．6设曲线y=ax与y=logax相切于点M(x0，x0)，由于曲线y=ax在点M处的切线斜率为1，∴即∴则．即e=，∴a=．此时x0=e．以上说明，当a=时，两条曲线y=ax与y=logax相切于点M(e，e)．因此有以下结论：①1时，方程(*)无解(见图(1)所示)．用计算器可算出≈1.44467．0

8、如图(6)所示曲线y=ax与y=logax相切时a的值．设曲线y=ax与y=logax相切于点P，由对称性知，点P在直线y=x上，设P(x0，x0)．由于曲线y=logax（或y=ax）在点P处切线的斜率为-1，∴即∴即则a=．此时，x0=．6以上说明，当a=时，两条曲线y=ax与y=logax相切于点P(，)．因此有以下结论：①0