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1、天津理工学2006年研究生入学考试《离散数学》试卷及答案姓名成绩一、填空题（每空1分，共25分）1．设A=｛｛，｛｝｝｝，则A×={〈｛，｛｝｝，〉，〈｛，｛｝｝，｛｝〉}。其中表示集合Ａ的幂集．２．设S为非空集合，为集合S的幂集。代数系统〈〉中，关于“”的幺元为，零元为，关于“”的幺元为，零元为。3．设〈A,≤〉是一个偏序集，如果A中任意两个元素都有 上确界和下确界，则称〈A,≤〉是一个格。4．设〈A,+，·〉是一个代数系统，θ是A关于“+”的幺元，如果满足〈A,+〉为Able群，〈A-{θ}，·〉为Able群，“·”对“+”可分配，则称〈A,+，·〉是域。5
2、．在下图中，a的补元为e，d的补元为b、e，c的补元为无。6．写出下表中各列所定义的命题联结词PQP→QP↑QPQ000110111101100111007．若G=〈V，E〉为汉密尔顿图，则对于结点集V的每个非空子集S，均有W（G-S），其中W（G-S）是G-S的连通分支数。8．设集合Ａ＝｛1,2,3,4,5,6｝，Ｒ为A上的整除关系，A的极大元是4，5，6，最大元5 是无。9．在任何图G=〈V，E〉中，=2│E│，其奇数度结点的个数必为偶数。10．一棵有向树T称为根树，若T恰有一个结点的入度为0，其余结点的入度为1，
3、其中入度为0的结点称为树根，出度为0的结点称为树叶。11．设〈G，〉是一个群，则对任意的∈G均有=。12．设X，Y是任意两个集合，是X到Y的一个函数。当为时，是Y到X的函数，且=。一、单项选择题（每小题2分，共20分）1．下列哪个命题是假命题（ （1） ）．(1)．如果２是偶数，那么一个命题公式的析取范式唯一；(2)．如果２是偶数，那么一个命题公式的析取范式不唯一；(3)．如果２是奇数，那么一个命题公式的析取范式唯一；(4)．如果２是奇数，那么一个命题公式的析取范式不唯一．２．设和是集合Ａ上的任意两个具有自反性、对称性和传递性的关系，则（ （4） ）．(1)．；
4、(2)．；(3)．；(4)．．３．集合A上的关系R为一个等价关系，当且仅当R具有（）。(1)(1)．自反性、对称性和传递性； (2)．自反性、反对称性和传递性；(3)．反自反性、对称性和传递性；(4)．反自反性、反对称性和传递性４．设Z为整数集，：ZZ，(i)=i(mod3)，则是（ ）．（3）(1)．是入射不是满射； (2)．是满射不是入射；(3)．既非入射也非满射； (4)．是双射．５．设A(G)是有向图G=〈V，E〉的邻接矩阵，其第i行中“1”的数目为（）。(2)(1)．结点的度数； (2)．结点的出度；(3)．结点的入度；(4)．结
5、点的度数。６．设有33盏灯，拟公用一个电源，则至少需要5插头的接线板的数目为（ ）．(2)(1)．７； (2)．８； (3)．９； (4)．１４．７．设Q为有理数集，〈Q，〉（其中为普通乘法）不能构成（）。(1)(1)．群； (2)．独异点； (3)．半群； (4)．交换半群． ８．设A={1，2，3}，A上的二元关系R=5 ，则R具有的性质是（(1)）。(1)．反自反性；(2)．自反性； (3)．对称性；(4)．传递性． ９．设P表示“天下大雨”，Q表示“他在室内运动”，则命题“除非天下大雨，否则
6、他不在室内运动”符号化为（（3））。 (1)．； (2)．； (3)．； (4)．． 10．下面给出的四个图中，哪个不是汉密尔顿图（ （4） ）．一、简答题（每小题6分，共30分）1．设集合A={a,b,c,d,e}上的偏序关系“”={}，画出偏序关系“”的哈斯图。解：偏序关系“”的哈斯图为:2．对上题中的偏序集，求下表所列集合的上（下）界，上（下）确界，并将结果填入表中。子集上界下界上确界下确界{a,b,c}{c,d,e}A解：子集上界下界上确界下确界{a,b,c}adad{c,d,e}a,c无c无Aa无a无5 3
7、．今有煤气站A，将给一居民区供应煤气，居民区各用户所在位置如图所示，铺设各用户点的煤气管道所需的费用（单位：万元）如图边上的数字所示。要求设计一个最经济的煤气管道路线，并求所需的总费用。ABCDEFGHIJKS2222223.55452634531解：该问题相当于求图的最小生成树问题，此图的最小生成树为：因此如图铺设煤气管道所需费用最小，最小费用为： Ｗ（Ｔ）＝2＋2＋2＋2＋2＋2＋2+3＋３+4+1＝25．4．设〈｛0,1｝，∨，∧，－〉上的一个布尔表达式，试求出其析取范式和合取范式．解：其析取范式为： 其合取范式为：5．设〈Ｓ，＊〉是一个三阶群
8、，其中S＝｛1,a,b｝
