第一章 希尔伯特空间

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1、第一章希尔伯特空间§1矢量空间§1.1定义考虑无穷多个同类的数学对象的集合，如果它们之间满足一定的运算要求，则其构成一个矢量空间一、矢量空间中矢量的运算▲加法运算集合中任意两个矢量相加都能得到集合中的另一个矢量，即加法规则视不同对象可以不同。但一定要满足下列四个条件1.交换律2.结合律3.单位元存在（O为零矢量）4.逆元存在并把记为▲数乘运算集合内任一矢量可以与数（实数或复数）相乘，得出集合内的另一矢量。（一般把数写在矢量后面）数乘满足下列四个条件1.单位元2.结合律3.第一分配律4.第二分配律▲内积运算两个矢量可以

2、作内积得出一个数，记作在实数域（复数域）上的矢量，其内积是实数（复数）。内积与两个因子的次序有关。内积规则要满足下列四个条件1.复共轭2.分配律3.因子结合律4.自内积对任意，有。若我们把具有加法和数乘两种运算并满足各自条件的矢量集合称为矢量空间或线性空间。具有加法、数乘和内积三种运算的空间称为内积空间。▲内积空间的完全性如果对给定任意小的实数,有数N存在。当时，有那么可以定义空间的完全性：空间中任意在Cauchy意义下收敛的序列的极限也必须在此空间中。这样完全的内积空间是指在Cauchy意义下，内积空间中的序列的极

3、限也在内积空间中。完全的内积空间称为希尔伯特(Hilbert)空间。本章中，矢量空间通常指在复数域上的内积空间。二、矢量空间的简单性质1.零矢量是唯一的[证明]设空间中有二零矢量O1，O2，则将第一式中，第二式中，则利用加法交换律，有所以零矢量是唯一的。2.每个矢量的逆元是唯一的[证明]设中有两个逆元，则有这样故逆元是唯一的。3.4.