2.2.2椭圆的简单几何性质(1)

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1、选修２—１2.2.2椭圆的简单几何性质（教案）（第1课时）【教学目标】1．掌握椭圆的几何图形、椭圆的范围、对称性、顶点的几何性质；2．掌握标准方程中的a、b、c的几何意义，会用代数的方法来研究曲线的几何性质．【重点】　　椭圆的几何性质．【难点】如何用代数方法去研究椭圆的几何性质．【预习提纲】（根据以下提纲，预习教材第43页～第46页）1．完成下表标准方程图形性质焦点焦距范围对称性关于两坐标轴和坐标原点对称顶点长短轴长轴长：；短轴长：．a、b、c的关系【基础练习】1．经过点Ｐ（－３，０）、Ｑ（０，－２）的椭圆的标准方程为．

2、112．椭圆，其上一点P(3,)到两焦点的距离分别是6.5和3.5，椭圆的长半轴为５.3.已知椭圆的两个焦点为、，且，弦AB过点，则△的周长为.4.在同一坐标系中画出下列椭圆的简图：（1）　　（2）答：简图如下：【典型例题】例1　求椭圆的长轴和短轴的长、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出它的图形．【审题要津】由椭圆的方程化为标准方程，容易求出．用椭圆的长轴、短轴、焦点和顶点的定义即可求相关量．图形可以根据椭圆的范围以及对称性去画．解：把已知方程化成标准方程：　，所以，，因此，椭圆的长轴的长和短轴的长分别为，两个焦点分别为，

3、椭圆的四个顶点是，将已知方程变形为，根据，在的范围内算出几个点的坐标：01234543.93.73.22.40先描点画出椭圆的一部分，再利用椭圆的对称性画出整个椭圆：11【方法总结】在画椭圆以及研究椭圆时，一定要注意椭圆性质的应用．变式练习：1．写出椭圆的长半轴和短半轴的长、焦点和顶点坐标．答案：长半轴的长是５，短半轴的长是１，焦点坐标是，顶点坐标是（－１，０），（１，０），（０，－５），（０，５）．例2　如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面的一部分．过对对称的截口是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点上，片门位于

4、另一个焦点上，由椭圆一个焦点发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点．已知，，．建立适当的坐标系，求截口所在椭圆的方程．【审题要津】建立适当的直角坐标系，设椭圆的标准方程为，算出的值，即可写出椭圆的方程．解：建立如图所示的平面直角坐标系，设所求椭圆方程为．在中，．由椭圆的性质知，，所以；．所以，所求的椭圆的方程为．【方法总结】此题应注意两点：①注意建立直角坐标系的两个原则；②关于的近似值，原则上在没有注明精确度时，看题中其他量给定的有效数字来决定．变式练习：１．中心在原点，长轴在11轴上，长轴长为18，且两焦点恰

5、好将长轴三等分，求此椭圆方程．解：由已知．所以，所求的椭圆的方程为．２．如图所示，“神舟”截人飞船发射升空，进入预定轨道开始巡天飞行，其轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，近地点距地面，远地点距地面，已知地球的半径．建立适当的直角坐标系，求出椭圆的轨迹方程．解：建立如图所示直角坐标系，使点A、B、在轴上，则＝

6、OA

7、－

8、O

9、＝

10、A

11、＝6371＋439＝6810＝

12、OB

13、＋

14、0

15、＝

16、B

17、＝6371＋2384＝8755解得＝7782.5，＝972.5.卫星运行的轨道方程为例3已知椭圆，焦点为、，是椭圆上一点．若，求的面积．【

18、审题要津】．而由椭圆的方程及椭圆的定义可知，在中，由余弦定理就可以求出．解：椭圆的标准方程为：，则　　∴．∴，．在中，由余弦定理，得，∴＝12.11∴.【方法总结】在椭圆上的一点与椭圆的两焦点构成的三角形中,由定义可得到,面积中涉及到,所以在解决相关问题时会考虑运用正、余弦定理，如果是直角三角形，还会运用勾股定理，方法会社涉及到配方法、整体代换、解方程组等．变式练习：点P是椭圆上一点，以点P以及焦点、为顶点的三角形面积为8，求点P的坐标．解：由椭圆的方程知　　　　∴，．由＝，得　　．∵点P在椭圆上，∴，　解得　　．所以，

19、点P的坐标为．1．椭圆的焦点坐标是(Ｃ)．（A）（B）（C）（D）2.已知两椭圆与的焦距相等，则a的值为(Ａ).(A)9或(B)或(C)9或(D)或3．已知椭圆C:，直线l:，点，则(Ａ)．(A)点P在C内部，l与C相交(B)点P在C外部，l与C相交(C)点P在C内部，l与C相离(D)点P在C外部，l与C相离4．椭圆的短轴的一个端点到一个焦点的距离为5，焦点到椭圆中心的距离为3，则椭圆的标准方程是（Ｃ）．（A）或（B）或11（C）或（D）椭圆的方程无法确定5．以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，椭圆

20、长轴的最小值是（Ｄ）．（A）（B）（C）2（D）26．中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆，长轴长与短轴长的比为，且过点，则该椭圆的方程是）7．点P（x,y）在椭圆＋y2=1上，则x2+4x+y2的最小值－４．8.如图，求椭圆,()内接正方形ABCD的面积．解由椭圆和正方形的中心对称性知，正方形BFOE的面积是所求正方形