例谈椭圆定义在解题中的应用

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1、例谈椭圆定义在解题中的应用定义是揭示事物的本质属性，对于某些数学问题，若能灵活运用定义解题，往往事半功倍，本文举例说明椭圆定义在解题中的应用。一、解方程例1分析：常规方法是经过两次平方去根号求解，但运算繁杂，难免不出错。如果联想到椭圆的第一定义，将方程配方后令，得，则点M（x，y）的轨迹是以F1（-1，0），F2（1，0）为焦点，长轴长为4的椭圆，从而原方程的解等价于已知椭圆上点的纵坐标去求它们的横坐标。解：由原方程可得解得二、判断方程表示的曲线例2已知，且满足，试判断点M的轨迹是怎样的曲线。分析：若将原方程平方，化简后并不能直接判断出轨迹是什么曲线，注意式子结构的特点，左边可看成点M到点（2

2、，0）的距离，从而可联想右边可化为点M到直线的距离，即有，由此联想到椭圆的第二定义，就很简单地求出点M的轨迹是椭圆。三、求参数的取值范围例3（2004年高考·全国卷III）设椭圆的两个焦点是F1（-c，0）、F2（c，0）（c>0），且椭圆上存在点P，使得直线PF1与直线PF2垂直，求m的取值范围。解：由题意知m>0，，，且②2－①得：3又所以，即，所以例4（1997年全国联赛题）若方程表示的曲线为椭圆，则m的取值范围是（）A.（0，1）B.（1，+∞）C.（0，5）D.（5，+∞）分析：由已知得即依题意，此方程表示椭圆，根据椭圆的第二定义，得，解得m>5，选D。四、求最值例5（1）（1999

3、年全国联赛题）给定A（-2，2），已知B是椭圆上动点，F是左焦点，当取最小值时，求B点坐标。（2）已知椭圆内有一点P（1，-1），F为椭圆右焦点，M是椭圆上动点，求

4、MP

5、+

6、MF

7、的最小值。分析：此题如果按一般求最值的方法先建立目标函数，再求最值，因含有两个根式的和，代入消元不易，难以求解，但如果我们注意数量特征，利用椭圆定义合理转化，则可得到如下简解。解：（1）显然点A在椭圆内部，由椭圆第二定义可得：B到椭圆左准线l的距离，所以，结合平面几何知识，可知，当AB⊥l时，最小，此时易求B点坐标为（，2）（2）设椭圆的左焦点为F'，由平面几何知识，得，当且仅当M为线段F'P的延长线与椭圆交点时取

8、等号。所以所以的最小值为。五、求轨迹方程例6（2002年春季高考题）已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆上一个动点，如果延长F1P到Q，使得，那么动点Q的轨迹是（）A.圆B.椭圆C.双曲线一支D.抛物线解：因为，所以由椭圆第一定义得，故，即Q点轨迹是以F1为圆心，以2a为半径的圆，选A。3六、求焦点三角形的面积例7已知点P是椭圆上的一点，F1、F2是两个焦点，且∠F1PF2＝α，求△F1PF2的面积S。解：△PF1F2中，由余弦定理，得所以故七、求离心率例8已知P是椭圆上一点，F1、F2是椭圆的左、右焦点若∠PF1F2＝α，∠PF2F1＝β，求椭圆离心率。解：△PF1F2中，由正弦定理有八、求

9、离心率取值范围例9（2001年“希望杯”赛题）F1、F2是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P使得∠F1PF2＝120°，求椭圆离心率的取值范围。解：由同例8得又，所以。3