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1、七章实数的完备性判断题：1.1. 设为开区间集,则H是(0,1)的开复盖.2.2. 有限点集没有聚点.3.3. 设S为闭区间,若则必为S的聚点.4.4. 若存在,则点集只有一个聚点.5.5. 非空有界点集必有聚点.6.6. 只有一个聚点的点集一定是有界点集.7.7. 如果闭区间列满足条件,则闭区间套定理成立.8.8. 若在上一致连续,则在上连续.9.9. 闭区间上的连续函数一定有界.10.10. 设为R上连续的周期函数,则在R上有最大值与最小值.答案:
2、 √√√√×××√√√证明题1.1. 若A与B是两个非空数集,且有,则.2.证明:若函数在单调增加,且,有(其中M是常数),则使.3.证明:若E是非空有上界数集,设且,则存在数列,有.4.证明:函数在开区间一致连续函数在开区间连续,且与都存在.5.设为单调数列,证明:若存在聚点,则必是唯一的,且为的确界.6.证明:在上一致连续.7.证明:为有界数列的充要条件是的任一子列都存在其收敛子列.8.设在上连续,又有,使.证明:存在,使得.答案1.证明:设用反证法.假设即有,一方面,则存在另一方面,则.于是,有,与已知条件矛盾,即.2.证明:
3、已知数集有上界,则其存在上确界,设由上确界的定义,,使得;或有或.即.3.证明:已知,由确界定义,,有,有,并且,有,并且于是,得到数列.有.4.证明:已知在一致连续,即,有显然在连续,且,有.根据柯西收敛准则,函数在存在右极限同理可证函数在存在左极限.已知与存在,将函数在作右连续开拓,在作左连续开拓,于是函数在闭区间连续,从而一致连续,当然在也一致连续.5.证明:不妨设递增.(1)先证若存在聚点必唯一.假定都是的聚点,且.取,由是聚点,必存在又因递增,故时恒有于是,在中至多含的有限多项,这与是的聚点相矛盾.因此的聚点存在时必唯一.(2)再证
4、上确界存在且等于聚点.为上界.如果某个,则时恒有,取则在内至多含的有限多项,这与为的聚点相矛盾.对由聚点定义,必存在使.由定义.6.6. 证明:令由于,而时,所以在上连续,又因存在,所以在上一致连续,从而在上也一致连续,即在上一致连续.7.7. 证明:设为有界数列,则的任一子列也有界,由致密性定理知必存在其收敛子列.设的任一子列都存在其收敛子列.若无界,则对,必存在正整数使得;对存在正整数使得一般地,对,存在正整数使得.于是得到的子列,它满足,从而的任一子列必须是无穷大量,与充分性假定相矛盾.8.8. 证:因为有
5、界数列,故必有收敛子列,设,由于,故.一方面,由于在连续有再由归结原则有;另一方面,由及是的子列有因此 第八章不定积分填空题1..2.若函数与是同一个连续函数的原函数,则与之间有关系式_______________.3.若且,则4.若,则5.6.若，则作变换___________计算.7..8.9.若,则.10.过点斜率为的曲线方程为___________. 答案:1..2.(C为任意常数).3..4..5..6..7..8..9.10. 判断题:1.1. 有理函数的原函数是初等函数.2.2. 3.3. 若函数存
6、在一个原函数,则它必有无限多个原函数.4.4. 设是在区间I上的原函数,则在区间I上一定连续.5.5. 函数的不定积分是它的一个原函数.6.6. 的有理函数分解式为:7.7. 8.8. 若函数在区间I上连续,则它在区间I上必存在原函数.9.9. 存在一些函数,采用不同的换元法,可以得到完全不同的不定积分.10.10. 若,则答案:1---10√√√√××√√×√选择题：1．下列等式中（）是正确的2．若满足则）3．若则（）4．设函数在上的某个原函数为零，则在上（）A．的原函数恒等于零
7、.B.的不定积分等于零.C.不恒等于零但其导数恒等于零.D.恒等于零.5.下列凑微分正确的是()6.().7.若,则()8.函数的一个原函数是()9.若,则()10.下列分部积分中对和选择正确的有() 答案：1—10DCCDADCBBC 计算题:1.2.3.4.5.6.7..8.9..10. 答案:1.1. 原式=.1.2. 原式3.4.5..6.7..8..9..10..第九章定积分一、一、 选择题（每题2分）1、若，则（）（A）1（B）（C）0（D）2、若是奇函数，且在上可积，则下列等式成立的有（）
8、（A）（B）（C）（D）3、设在上连续，则下面式子中成立的有（）（A）（B）（C）（D）4、设为连续函数，，则=（）（A）（B）0（C）1（D）25、函数在上连续是
