探讨韩信点兵应用余数的奥秘

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1、探讨“韩信点兵”应用余数的奥秘作者：山东省安丘市景芝镇耀华小学李洛泉、王岐宝内容摘要：作者回顾“韩信点兵”，质疑为什么余数分别乘70，21，15？通过列表分析得出结论---“余数定理”。并对“定理”进行验证，确保“定理”的可靠性。根据“定理”证明“韩信点兵”不止局限于3，5，7作除数，适应于其它互质数。从而点评“韩信点兵”对于余数应用的推动作用。通过实践，作者呼吁广大教师可以选用其它问题激励学生自主探讨，激发学生的学习兴趣。要求小学生尽量使用笔算少用计算机，力求达到知识拓展、创新的目的。关键词：质数、合数、互质数、寻找规律、拓展、创新、激发学习兴趣。一、回顾历史故事“韩信点兵”：

2、早在西汉时期，著名军事家韩信就能够应用余数检查士兵是否足数，韩信用旗语指挥士兵先按三人一伍排列，再按五人一伍排列，最后按七人一伍排列，各记下余数，在很短时间内就能得出士兵是否足数的结论。因为这种算法中国比西欧早几千年；所以，人们把这种算法定义为“中国剩余定理”（临时没有得到公认）。到了明代，数学家程大位结合“孙子算经”对韩信的计算方法（无法考查韩信的计算）进一步研究，并总结成了口诀：“三人同行七十稀，五树梅花二十一枝，七子团圆月正半，除百零五便得知”。意思是把三人一伍的余数乘70，五人一伍的余数乘21，七人一伍的余数乘15，三个积相加，减去或加上几个105即得答案（古汉语中“除”

3、的意思有不包括等含义）。后人把程大位的口诀仍称作“韩信点兵”。很久以前人们就用此方法考查别人。只要对方说出规定范围内的数各除以3，5，7的余数，考查者就能知道对方的数。例如，对方说：“1—100的一个数除以3，5，7的余数分别为2，3，0.这个数是多少”？考查者暗算：2×70=140，3×21=63，140+63=203，203-105=98，立刻回答：“你的数一定是98”。“韩信点兵”适应于各个范围的数，只不过计算后要加或减几个105罢了。二、解读“韩信点兵”，寻找规律得结论：“韩信点兵”的准确率无可质疑，但是为什么余数要分别乘70，21，15呢？自明代至今没有资料解释过这样算

4、的理由。对于这个问题的探讨，曾经有人认为是3，5，7两两相乘的结果。因为，3×5=15，3×7=21，5×7=35，而35是70的一半；所以，不能说明问题。我经过长时间的探索，通过列表分析（事实上是对程大位口诀的分析），对这个问题有了新的发现。可以取从1往后的数分别除以3，5，7，观察余数的特点。在这里值得说明的是，根据资料考查，明代的数学理论仍把除法叫做“分法”，像1，2小于3根本不够3除，仍说做余1或2；对自然数的定义也不包括0.应用现代数学理论：0是最小的自然数，0除以（0除外）其它实数仍得0.对于研究“韩信点兵”并不矛盾。取1往后的数列表分析寻找规律，因为3，5，7的最小

5、公倍数是105，可以取1—106的数列表分析。列表如下：x÷3（余数）÷5（余数）÷7（余数）1111222230334144520560167120823190421010311214…………105000106111由上表分析看出：一、每个被除数都对应着三个余数，把三个余数看做是一组（以后简称余数组），在1—105的范围内余数组不同，而1和106的余数组相同；说明所有自然数的余数组按周期105变化。二、被除数70对应的余数组是“1，0，0”与“三人同行七十稀”相吻合；21对应的余数组是“0，1，0”与“五树梅花二十一枝”相吻合；15对应的余数组是“0，0，1”与“七子团圆月正半

6、”相吻合。三、余数组“1，1，1”分别乘70，21，15相加等于106，自然数1和106的差等于105；说明其它任一余数组分别扩大70，21，15倍的和加或减几个105等于一个预设数。如：2的余数组“2，2，2”分别扩大70，21，15倍的和等于212，212-105×2=2，2与107的余数组重合……。至此已经找到了任一自然数除以3，5，7的余数分别乘70，21，15相加再加减105的根据。假如说：1000左右的一个数分别除以3，5，7，余数分别为0，4，5，这个数是多少？计算：4×21=84，5×15=75，84+75=159，可以连续加105，159+105×8=999，即

7、这个1000左右的数是999.结论：设三个互质数a,b,c（两两互质）分别除从1往后的自然数所得余数组分别为“1，0，0”，“0，1，0”，“0，0，1”，三个余数组对应的自然数就是a,b,c的扩大倍数，任一自然数除以a,b,c的余数扩大倍数的和一定包含着n个“a,b,c”的最小公倍数。三、拓展“韩信点兵”，证明规律的准确性：大胆猜想：两个或两个以上不同互质数（有限个且两两互质）作除数，分别除从1往后的自然数，只要找到任意一个除数的余数为1而其它除数的余数为0，这组余数对应的自然