历届高等数学竞赛试卷

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1、第二十届高等数学竞赛试卷专业年级：学号：姓名：成绩：页号一二三四五六七八总分得分说明：1.答案必须写在题目指定的空白处,否则无效.2.题目所在页背面为草稿纸.3.试卷正文共7页.中国石油大学（华东）教务处、学生工作处、数学学院主办基础数学系承办2006年6月4日一、填空题（每小题5分，本题共50分）：1.若时，与是等价无穷小，则.解题过程是：2..解题过程是：3.设函数在处连续，则.解题过程是：4..解题过程是：5..解题过程是：解题过程是：7.解题过程是：8.解题过程是：9.解题过程是：10.设在上半平面内，函数具有连续偏导数，且对任意的都有.　对内的任意

2、分段光滑的有向简单闭曲线，则.解题过程是：二、计算题（每小题6分，本题共42分）：解题过程是：2.设是锥面的下侧，计算曲面积分..解题过程是：解题过程是：解题过程是：解题过程是：解题过程是：解题过程是：三、证明题（本题8分）：中国石油大学（华东）第二十届高等数学竞赛试卷参考答案一、填空题（每小题5分，本题共50分）：1.若时，与是等价无穷小，则..解当时，，.于是，根据题设有，故a=-4.2..解=,而，故原式=3.设函数在处连续，则.解由题设知，函数在处连续，则，又因为.所以.4..5..解：本题积分区域为全平面，但只有当时，被积函数才不为零，因此实际上只

3、需在满足此不等式的区域内积分即可.7.8.9.10.设在上半平面内，函数具有连续偏导数，且对任意的都有.　对内的任意分段光滑的有向简单闭曲线，则.解两边对求导得　　　　　　　　　　　.　　　　　　　　　　　　令，则　,.　即　　　①　　　　　设，则　　　　　　　.　　　则由①可得　.　故由曲线积分与路径无关的定理可知，对内的任意分段光滑的有向简单闭曲线，都有　　　　　　　　二、计算题（每小题6分，本题共42分）：2.设是锥面的下侧，计算曲面积分..解设：，取上侧，则　　　　　.而　＝，　　.所以　.三、证明题（本题8分）：Y解（I）l2CoXl3如图，将C分

4、解为：，另作一条曲线围绕原点且与C相接，则.（II）设，在单连通区域内具有一阶连续偏导数，由（Ⅰ）知，曲线积分在该区域内与路径无关，故当时，总有.①②比较①、②两式的右端，得④③由③得，将代入④得　所以，从而中国石油大学（华东）第二十一届高等数学竞赛试卷专业年级：学号：姓名：成绩：页号一二三四五六七总分得分说明：1.答案必须写在题目指定的空白处,否则无效.2.题目所在页背面为草稿纸.3.试卷正文共7页.中国石油大学（华东）教务处、学生工作处、数学学院主办基础数学系承办2007年6月10日一、填空题（每小题5分，本题共50分）：1.若时，与是等价无穷小，则.解

5、题过程是：2..解题过程是：3.曲线，渐近线的条数为：.解题过程是：4..解题过程是：5.微分方程.解题过程是：6..解题过程是：7.解题过程是：8.设函数的一个原函数是，则=.解题过程是：9.=.解题过程是：10.设曲线，.解题过程是：二、计算题（每小题6分，本题共42分）：解题过程是：2.设，计算曲面积分解题过程是：解题过程是：解题过程是：解题过程是：6.设曲面，计算曲面积分.解题过程是：解题过程是：三、证明题（本题8分）：中国石油大学（华东）第二十一届高等数学竞赛试卷参考答案一、填空题（每小题5分，本题共50分）：1.若时，与是等价无穷小，则.解题过程

6、是：若时，与是等价无穷小，，则，故.2..解题过程是：.3.曲线，渐近线的条数为：3..解题过程是：曲线渐近线有3条：垂直渐近线，水平渐近线，斜渐近线.4..5.微分方程.解题过程是：6..解题过程是：7.解题过程是：解：令，是奇函数，得=8.设函数的一个原函数是，则=.解题过程是：=.9.=解题过程是：10.设曲线，.解题过程是：.二、计算题（每小题6分，本题共42分）：解题过程是：又故曲线L的方程为：.2.设，计算曲面积分解题过程是：而故解题过程是：解题过程是：等式两边对t求导得解题过程是：解：（1）的驻点内的驻点为：.（2）构造拉格朗日函数：条件极值驻

7、点为：（3）比较最小值为0。最大值为8.6.设曲面，计算曲面积分.解题过程是：解：由曲面的对称性和被积函数对称轮换性，==，======.解题过程是：三、证明题（本题8分）：证：构造辅助函数则证明思路使得再用两次罗尔定理得到结论.（1）则使得已知，用罗尔定理，与，使得，，进而，使得，即（2）则与，。使得，，由连续函数的零点定理，存在介于之间的使得又，由罗尔定理，与，使得，，进而，使得，即综合上述，，使得中国石油大学（华东）第二十二届高等数学竞赛试卷专业班级：学号：姓名：成绩：页号一二三四五六七总分得分说明：1.答案必须写在题目指定的空白处,否则无效.2.题目

8、所在页背面为草稿纸.3.试卷正文共7页.中国石油大学