环同态及同态基本定理

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1、环同态及同态基本定理定义1.设是一个环同态,那么中零元的完全原象叫作的模,通常记.定理1.设是一个环同态满射,令那么(ⅰ)(ⅱ)证明:(ⅰ)对加法而言,显然是一个加群满同态,由第二章知.(即是的不变子群).下面只需证明吸收律也成立即可.那么同理.(ⅱ)由第二章知,存在.作为群同构,其中下面只需证明:,但.是环同构.即.定理2.设是一个环而,那么必有环同态.使得是满同态且模.称这样的为环的自然同态.证明:令,其中,显然是个满射.而且..至于是显然的.注意:上述定理1和定理2通称为环和同态基本定理.同时表明:环

2、的任何商环都是的同态象.而环的任何同态象实质上只能是的一个商环.与群同态类似,我们可以和到一些与第二章中平行的结果.定理3.设是环同态映射,那么(ⅰ)若是的子环是的子环(ⅱ)若是的理想且为满射是的理想(ⅲ)若是的子环是的子环(ⅳ)若是的理想是的理想证明:(ⅰ)使所以,于是.(子群)另外是的子环.(ⅱ),是的子环是的子环.须证明吸收律成立.是满射(ⅲ)∴,而知是的一个子环.(ⅳ),∴.于是满足吸收律.又由(ⅲ)是的子环.于是.注意2.从定理3的证明中可知:除了(ⅱ)需要是满环同态外,其余情况都不需要是满射这个

3、条件.