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1、解析几何中的常见陷阱剖析长沙市田家炳实验中学谭著名邮政编码410005联系方式15874162229解析几何知识是数与形的绝妙结合，形(曲线)的定性分析可以借助数(曲线的方程)来定量求解；数的定量求解可以借助形来寻找途径。但在数与形的相互补充中常常会有些细节在不经意中被我们忽视,习惯称之为陷阱。陷阱一、曲线方程或有关公式中的字母与参数的取值要求例1直线经过点P（1，2）且在坐标轴上截距相等，求其方程【错解】由题意设直线方程为，代入P（1，2）可得所以直线方程为，即【错因分析】直线过原点时在坐标轴上截距也相等，此时不能设直线的截距式方程【正解】①当直线在坐标轴上的
2、截距不为零时，设直线方程为，代入P（1，2）可得，所以直线方程为，即②当直线经过坐标原点时，设其方程为代入P（1，2）可得所以直线方程为综上可得直线方程为或【小结】解析几何中有些公式和曲线的方程对参数有取值范围要求，如直线的截距式方程中要求；椭圆方程中的；直线的斜率公式中的等。要求在解题过程中做到全面性和纯粹性，防备漏解或增解。陷阱二、直线的斜率不存在情况例2求过点A（2，-1）且与圆相切的直线方程【错解】设直线方程为，即因为直线与圆相切，所以解得6所以直线方程为，即【错因分析】在设直线方程的点斜式方程时没有考虑直线斜率不存在的情况【正解】①当直线的斜率存在时，
3、设直线方程为，即因为直线与圆相切，所以解得所以直线方程为，即②当直线的斜率不存在时，直线的方程为综上得切线方程为与【小结】在设直线方程的点斜式方程与斜截式方程时，如果题中没有说明直线斜率的存在情况，一般要对斜率存在与否进行讨论陷阱三、曲线方程非标准形式给出例3（2009陕西卷）“”是“方程表示焦点在y轴上的椭圆”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件(D)既不充分也不必要条件【错解】答案:D【错因分析】没把椭圆方程的非标准形式化为标准【正解】将方程转化为,根据椭圆的定义，要使焦点在y轴上必须满足所以，故选C【小结】高中所学的圆锥曲线方程都是
4、标准方程，相应的性质也是在标准方程情况下的性质。解题时要审清题目，化非标准为标准再求解。陷阱四、忽略曲线方程中变量本身的取值范围例4P是椭圆右准线上不同于点A(4,0)的任意一点,若直线AP、BP分别与椭圆相交于异于A、B的点M、N,试说明点B与以MN为直径的圆的位置关系.【错解】解:设,因为点M在椭圆上,所以----------------------①又M点异于顶点A、B,由P、A、M三点共线得P从而6所以=---------------------------------②将①式代入②式化简得所以（I）当于是为锐角,从而为钝角,故点B在以MN为直径的圆内（
5、II）当于是为钝角,从而为锐角,故点B在以MN为直径的圆外（III）当于是为直角,故点B在以MN为直径的圆上.【错因分析】没有注意到椭圆中的【正解】设,因为点M在椭圆上,所以----------------------①又M点异于顶点A、B,所以由P、A、M三点共线得P从而所以=------------------------------②将①式代入②式化简得因为于是为锐角,从而为钝角,故点B在以MN为直径的圆内.【小结】在解析几何中要注意曲线方程中变量或自身的取值范围。陷阱五、求离心率取值范围中,忽视离心率本身的范围例5分别是椭圆的两个焦点,当离心率在什么范围
6、内取值时,椭圆上总有点P,使【错解】设,则由,令6故离心率取值范围为【错因分析】忽视椭圆的离心率为的范围【正解】设,则由,令又∴离心率取值范围为【小结】圆锥曲线的统一定义是以离心率的取值范围不同而区分不同类型的曲线，所以离心率的取值范围是一个隐藏条件。陷阱六、忽略图形的对称性而造成解的重复例6以椭圆的上顶点B为直角顶点作椭圆的内接等腰三角形ABC,这样的直角三角形是否存在?若存在,有几个;若不存在,说明理由.【错解】假设能够构成等腰三角形ABC,其中B(0,1),由题意知BA与BC的斜率一定存在且不为0,故设则则,所以同理,由,当时,,当时,,所以这样的直角三角
7、形存在且有6个【错因分析】注意到BA与BC的斜率互为负倒数，时的三角形个数就是最终三角形的个数。【正解】6假设能够构成等腰三角形ABC,其中B(0,1),由题意知BA与BC的斜率一定存在且不为0,故设则注意到BA与BC的斜率互为负倒数，不妨设，则,所以同理,由,解得所以这样的直角三角形存在且有3个【小结】圆锥曲线都具有对称性，在求解时依据其对称性，求出其一种情况时另一情形也就随之唯一确定。陷阱七、用“点差法”求中点弦所在直线方程需验解例7已知双曲线与点P(1,1),过P点作直线与双曲线交于A、B两点,且P为A、B的中点,这样的直线是否存在?【错解】设则两式相减整
8、理得因为,所以所以这样的
