数列通项公式的求法及数列求和方法

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1、数列通项公式的求法及数列求和方法详解专题一:数列通项公式的求法一、观察法(关键是找出各项与项数n的关系.)例1:根据数列的前4项,写出它的一个通项公式:(1)9,99,999,9999,…(2)(3)(4)答案:(1)(2)(3)(4).二、公式法公式法1:特殊数列例2:已知数列{an}是公差为d的等差数列,数列{bn}是公比为q的(q∈R且q≠1)的等比数列,若函数f(x)=(x-1)2,且a1=f(d-1),a3=f(d+1),b1=f(q+1),b3=f(q-1),(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;答案:an=a1+(n-1)d=2(n-1);bn=b·

2、qn-1=4·(-2)n-1例3.等差数列是递减数列,且=48,=12,则数列的通项公式是()(A)(B)(C)(D)(D)例4.已知等比数列的首项,公比,设数列的通项为,求数列的通项公式.简析:由题意,,又是等比数列,公比为∴,故数列是等比数列,易得.点评:当数列为等差或等比数列时,可直接利用等差或等比数列的通项公式,只需求首项及公差公比.公式法2:知利用公式.例5:已知下列两数列的前n项和sn的公式,求的通项公式.(1).(2)答案:(1)=3,(2)点评:先分n=1和两种情况,然后验证能否统一.三、 累加法【型如的递推关系】10简析:已知,,其中f(n)可以是关

3、于n的一次、指数函数、分式函数,求通项.①若f(n)是关于n的一次函数,累加后可转化为等差数列求和;②若f(n)是关于n的指数函数,累加后可转化为等比数列求和;③若f(n)是关于n的分式函数,累加后可裂项求和各式相加得例6、已知数列满足,求数列的通项公式。解:由得则时时,上式也成立.所以数列的通项公式为。评注:本题解题的关键是把递推关系式转化为,进而求出,即得数列的通项公式。例7、已知数列满足,求数列的通项公式。解:由得则时时,上式也成立.所以评注:本题解题的关键是把递推关系式转化为,进而求出10,即得数列的通项公式。练习1:已知数列6,9,14,21,30,…求此数

4、列的一个通项..答案:练习2:若在数列中,,,求通项.答案:=练习3:已知数列满足,,求此数列的通项公式.答案:四、累积法【形如=(n)·型】(1)当f(n)为常数,即:(其中q是不为0的常数),此时数列为等比数列,=.(2)当f(n)为n的函数时,用累乘法.例7、已知数列满足,求数列的通项公式。解:因为,所以,则,故所以数列的通项公式为评注:本题解题的关键是把递推关系转化为,进而求出,即得数列的通项公式。例8、(2004年全国I第15题,原题是填空题)已知数列满足,求的通项公式。解:因为①10所以②用②式-①式得则,因为所以故所以③由,,则,又知,则,代入③得。所以

5、,的通项公式为评注:本题解题的关键是把递推关系式转化为,进而求出,从而可得当的表达式,最后再求出数列的通项公式。练习1:在数列{}中,=1,(n+1)·=n·,求的表达式.答案:练习2:已知数列中,,前项和与的关系是,试求通项公式.答案:思考题1:已知,求数列{an}的通项公式.分析:原式化为若令,则问题进一步转化为形式,累积得解.五、构造特殊数列法构造1:【形如,其中)型】(1)若c=1时,数列{}为等差数列;(2)若d=0时,数列{}为等比数列;(3)若且时,数列{}为线性递推数列,其通项可通过待定系数法构造等比数列来求.方法如下:设,得,与题设比较系数得,所以:

6、,即构成以为首项,以c为公比的等比数列.例9:已知数列的递推关系为,且求通项.答案:构造2:相邻项的差为特殊数列10例10:在数列中,,,,求.提示:变为.答案:构造3:倒数为特殊数列【形如】例11:已知数列{}中且(),,求数列的通项公式.答案构造4:例12:已知数列满足,,求数列的通项公式。解:两边同除以,得,则,故数列是以为首项,以为公差的等差数列,由等差数列的通项公式,得,所以数列的通项公式为。评注:本题解题的关键是把递推关系式转化为,说明数列是等差数列,再直接利用等差数列的通项公式求出,进而求出数列的通项公式。例13:已知数列满足,求数列的通项公式。解:两边

7、同除以,得,则,故时因此,则时也成立.评注:本题解题的关键是把递推关系式转化为,进而求出10,即得数列的通项公式,最后再求数列的通项公式。例14:已知数列满足,求数列的通项公式。解:上式两边同时除以得,令,则设,即,所以,故,因为,所以是以1为首项,为公比的等比数列,所以,,所以评注:符合形式的数列,可以两边同时除以,然后构造新的数列求通项公式.六、待定系数法:例15:设数列的各项是一个等差数列与一个等比数列对应项的和,若c1=2,c2=4,c3=7,c4=12,求通项公式cn解析:设建立方程组,解得.点评:用待定系数法解题时,常先假定通项公式或前n

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