向量自回归过程的时间序列分析

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1、第四章向量自回归过程的时间序列分析§1向量自回归模型有时我们需要考虑多个时间序列过程的组合。例如，宏观经济系统中，它们之间是一个相互联系的整体（IS—LM）。多变量的时间序列将会产生一些单变量不存在的问题。本章主要讨论平稳的自回归形式的多变量随机过程VAR。给一般的向量平稳过程，。这里的协差矩阵定义为：仅依赖于。设，，于是得到矩阵序列。又，。设，那么，。称为的长期协差阵。且的谱定义为：。用作为的估计，又M是一个截断，满足且。再用作为的一致估计。相应于单变量平稳过程，我们同样定义向量的白噪声过程WN和向量的鞅差分过程MDS。并进一步给出由它们的线性过程组成的其他的向量过程：过程，。这里是一

2、个的矩阵，是向量WN。平稳性要求的特征值的绝对值小于1。过程，。这里是一个的矩阵，是向量WN。可逆性要求的特征值的绝对值小于1。又，过程总是平稳的。过程，，这里和都是的矩阵。又平稳性要求24的复根的模大于1，可逆性要求的复根的模大于1。过程，，，。简单计算可得的协差矩阵。显然，过程是平稳的。类似于单变量的AR过程，平稳的过程可以表示成一个过程，即，。更一般的有，平稳的过程：。改写成向量算子多项式形式，。那么，。设，则由可推得，，。且。VAR过程与VMA过程在一定条件下可以互换。由于VMA过程估计涉及到复杂的非线性运算，在可逆性条件成立下，数值估计我们常把它转化成VAR过程处理。但在理论分

3、析上，用VMA过程讨论冲击响应则更方便些，我们又将VAR过程转换成VMA过程处理。一般不同时讨论过程。太麻烦。注：向量随机过程的沃尔德分解定理仍成立。一个2维的VARMatlab程序。（暂略）§2格兰杰因果性和冲击响应多变量时间序列之间能否构成向量过程首先应当检查它们之间是否存在因果关系。设。定义，为的格兰杰原因，指的是，如果已知的过去值，有助于预测。反之，如果不是的格兰杰原因，则意味着当已知的过去值，对预测没有帮助。所以，将和写成它们过去的线性表达式：24不是的格兰杰原因意味着；不是的格兰杰原因意味着。所以，当且，和就没有必要放在一起作为向量过程。做法是同时做两个F检验。如果二个检验都

4、不能拒绝，则作为向量过程意义不大。注：格兰杰因果关系不是习惯上认识的因果关系。如学历与工资、吸烟与癌症、施肥与产量，等等。格兰杰因果关系指的是多变量时间过程中时间前后的可预测关系，典型例子是，天气预报是天气的格兰杰原因。多变量之间的相互联系带来的第一个问题是冲击响应的不唯一性。考虑一个VMA过程，，。当是单变量过程时，冲击响应指的是。含义是在时刻一个单位的增加，再经过个时间单位后对过程的影响。但当是一个向量过程时，冲击响应是一个的矩阵。它的内涵就多了。矩阵中的元素表面上看就是的第个分量的单位冲击对的第个分量的影响。然而，元素不能像单变量那样表达得那么准确。因为的表达可以有多种不同的外在形

5、式，任给可逆矩阵P，有：。所以，如果不是对角矩阵，那么矩阵就不能反映向量在时刻一个单位的冲击在经过个时间单位后对过程的影响。因为与不能区别。因此，我们应当限制的表述方式。比如，使是对角阵。特别限制使是单位阵。由矩阵的Choleski分解定理，知，存在下三角矩阵使得。于是，做变换，，则，。我们把的满足的表述称为它的垂直冲击响应形式。又当是一个过程，，。那么，先做变换，则：。因为，变换后不是一个标准的24过程。但这是一个结构式的VAR，由于P是下三角的，也是下三角的，故这是一个递归形式的VAR。于是，可把转化为的表达：，且。给定冲击，，，，，那么，就是的第列，（就是的第行）它表示的是每个变量

6、对第个分量在期前一个单位冲击产生的响应。所以，系统有个这样的冲击函数。下面考虑一个垂直响应形式的VAR过程的方差分解。它有助于分析产生波动的原因主要是由变量的哪些分量因素决定。对，，设t后h步的预测为，，t后h步的预测误差为，，预测步后误差的方差矩阵为，。有意义的是这个总方差成分的分解。现在考虑每一个分量的预测误差，对第i个分量而言，，有：，这里是矩阵中的第个元素。所以，第i个分量的预测误差要受到其他分量的影响。又由于，所以，。和式表示第k个分量的冲击对第i个分量在h步后造成的预测误差的方差，和式则表示第i个分量h步后预测误差的总方差。因此，比例值表示第k个分量的冲击占对第个分量预测误差

7、的总方差的比例。此分析方法称为方差分解。直观的讲就是，把的第行的平方和做分母，每个分量的平方做分子。方差分解解释了系统中每个分量的随机性冲击造成对其他分量的误差占整体波动的相对重要性，在宏观经济的政策分析中非常有用。24举例（暂略）。§3的极大似然估计3.1不受限制下的极大似然估计前述的方差分解等的应用是建立在估计的基础上的，本节讨论的估计。给，，。如果平稳，如何估计和？这里我们介绍常用的条件极大似然估计方法。设，且有T个观测。我们