运用数学知识求解物理极值问题

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1、运用数学知识求解物理极值问题摘要：物理极值问题是中学物理教学的一个重要内容，在高中物理的力学、热学、电学等部分均出现，涉及的知识面广，综合性强，已成为中学生学习物理的难点。通过对物理极值问题的探索和求解,总结出中学物理极值问题的基本规律,并归纳出解决物理极值的基本方法:建立与物理问题对应的数学模型,化物理极值问题为数学极值问题,从而用中学数学中各种求极值的方法求出物理极值.关键词：物理极值问题、数学模型、三角函数、不等式、二次函数、极限、几何法。在中学物理中，描述某一过程或者某一状态的物理量，在其发展变化中，由于受到物理规律和条件的制约

2、，其取值往往只能在一定的范围内才符合物理问题的实际，求这些量的值的问题便可能涉及到要求物理量的极值。求解物理极值问题，通常涉及到的数学知识有：二次函数求极值的方法,不等式法，点到直线的距离最短,求导数、因式分解,三角函数,几何作图法,有关圆的知识等等。在求解物理极值过程中要想能与数学知识进行灵活的整合，充分发挥数学的作用，往往要进行数学建模。数学建模就是用数学语言描述实际现象的过程。在科学领域中，数学因为其众所周知的准确而成为研究者们最广泛用于交流的语言。因此，人们常对实际事物建立种种数学模型以期通过对该模型的考察来描述，解释，预计或分

3、析出与实际事物相关的规律。一、利用三角函数规律求物理极值的问题9在物理极值问题中，有许多题目里的物理量变化关系与角度变化有关，于是，对这一类问题，我们只要着眼于列出被求物理量与角度相关的物理方程，再利用三角函数的有关规律即可求解物理极值。１.可直接利用三角函数在区间存在的极值求解的问题（即直接法）：（90°≥θ≥0゜，1≥sinθ≥0）图一(2)图一(1)vbθθFNmgCCBBAAa【问题一】：如图一(1)所示,底边AB恒定为b,当斜面与底边成夹角θ为多大时,物体沿此光滑斜面由静止从顶端滑到底端所用时间才最短?此题的关键是找出问题物体

4、从斜面顶端滑至底端所用时间与夹角的关系式,这是一道运动学和动力学的综合题,应根据运动学和动力学的有关知识列出物理方程。设夹角为θ时，斜面长为S，物体质量为m，沿斜面方向的加速度为a，所用时间为t，受力分析如图一（2）所示，据题意有：…………①由运动学和牛顿第二定律有：…………②mgsinθ=ma…………③联立①②③式解得：可见，在90°≥θ≥0°内，当sinθ=1时，即2θ=90°，θ=459°时，有最短时间：2.可利用三角函数变换求解极值的问题（替换法）：（如出现cosθ+μsinθ的情形）在含有三角函数的物理方程中，若一时无法判定其

5、极值时，可通过三角函数对一些确定物理量的替换，然后利用三角函数的有关变换公式转变后进行讨论，求解物理极值。【问题二】：如图二（3）所示，物体放置在水平地面上，它们之间的动摩擦因数为µ，物体重为G，欲使物体沿水平地面做匀速直线运动，所用的最小拉力为多大？图二（4）FNfGθyXF图二（3）FθV该题的已知量只有µ和G，说明最小拉力的表达式中最多只含有µ和G，但是，物体沿水平地面做匀速直线运动时，拉力F可由夹角的不同值而有不同的取值。因此，可根据题意先找到F与夹角有关的关系式再作分析。解：设拉力F与水平方向的夹角为θ，根据题意可列平衡方程式

6、，受力分析如图二（4）所示，ΣFX=0，ΣFy=0即……①……②…………③9由联立①②③解得：由于μ、G一定，欲使F最小，必须cosθ+µsinθ最大，但在0°≤θ≤90°内，cosθ和sinθ对同一值不可能同时有最大值，因此，必须作适当的三角函数变换，∵μ一定，∴令μ=tgφ(φ一定)则当时，有最小拉力又∵∴一、利用不等式性质求物理极值的问题：（如：，当时，有最小值，有最大值）【问题三】：如图三（1）所示中，已知定值电阻R1，电源内阻r，滑动变阻器的最大阻值为R，当滑动变阻器连入电路的电阻RX多大时，在变阻器上消耗的功率最大？解：设变

7、阻器连入电路的为RX（0

8、二次函数，因二次项系数为负值，故ΔS有最大值。当92、利用一元二次方程判别式求极值对于二次函数，可变形为一元二次方程用判别式法即：则由不等式可知y的极值为：对于例题4，我们可以转化为二次方程求解。将可转化为