§1.4 条件概率与乘法公式

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1、§1.4条件概率乘法公式一、条件概率二、乘法公式1在解决许多概率问题时，往往需要在有某些附加信息(条件)下求事件的概率.一、条件概率1.条件概率的概念如在事件A发生的条件下求事件B发生的概率，将此概率记作P(B

2、A).一般地P(B

3、A)≠P(B)2P(B)=1/6，例如，掷一颗均匀骰子，A={掷出偶数点}，P(B

4、A)=？掷骰子已知事件A发生，此时试验所有可能结果构成的集合就是AP(B

5、A)=1/3.A中共有3个元素,它们的出现是等可能的,其中只有1个在集B中.容易看到P(B

6、A)于是B={掷出2点}，3P(B)=3/10，又如，10件产品中有

7、7件正品，3件次品，7件正品中有3件一等品，4件二等品.现从这10件中任取一件，记A={取到正品},B={取到一等品}P(B

8、A)则4P(B)=3/10，A={取到正品}P(B

9、A)=3/7本例中，计算P(B)时，依据的前提条件是10件产品中一等品的比例.B={取到一等品}，计算P(B

10、A)时，这个前提条件未变，只是加上“事件A已发生”这个新的条件.这好象给了我们一个“情报”，使我们得以在某个缩小了的范围内来考虑问题.5若事件A已发生,则为使B也发生,试验结果必须是既在A中又在B中的样本点,即此点必属于AB.由于我们已经知道A已发生,故A变成了

11、新的样本空间,于是有(1).设A、B是两个事件，且P(A)>0,则称(1)2.条件概率的定义为在事件A发生的条件下,事件B的条件概率.62)从加入条件后改变了的情况去算3.条件概率的计算1)用定义计算:P(A)>0掷骰子例：A={掷出偶数点}B={掷出2点}，P(B

12、A）=A发生后的缩减样本空间所含样本点总数在缩减样本空间中B所含样本点个数7条件概率也是概率,故具有概率的性质：非负性正则性可列可加性8例1掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点,问“掷出点数之和不小于10”的概率是多少?解法1解法2解设A={第一颗掷出6点}B={掷出点数之和不小于1

13、0}应用定义在B发生后的缩减样本空间中计算9例2一批产品100件，有80件正品，20件次品，其中甲生产的为60件，有50件正品，10件次品，余下的40件均由乙生产。现从该批产品中任取一件，记A=“正品”，B=“甲生产的产品”，写出概率P(A),P(B),P(AB),P(B

14、A),P(A

15、B)10例3设某种动物由出生算起活到20年以上的概率为0.8，活到25年以上的概率为0.4.问现年20岁的这种动物，它能活到25岁以上的概率是多少？解设A={能活20年以上}，B={能活25年以上}依题意，P(A)=0.8,P(B)=0.4所求为P(B

16、A).1

17、1例4在10个产品中有7个正品，3个次品，按不放回抽样，每次一个，抽取两次，求①两次都取到次品的概率；②第二次才取到次品的概率；③已知第一次取到次品，计算第二次又取到次品的概率。若改为有放回抽样呢？（3）P（B

18、A）=2/9=P（AB）/P（A)=(1/15)/(3/10)解：设A={第一次取到次品}，B={第二次取到次品}，（1）P（AB）=(3×2)/(10×9)=1/1512例5、一盒中装有5件产品，其中3件一等品，2件二等品，从中取产品两次，每次取一件，作不放回抽样。设事件A=“第一次取到一等品”，B=“第二次取到一等品”，求P（B

19、A

20、）。解：P（B

21、A）=2/9=P（AB）/P（A)=(1/15)/(3/10)例6设试验E为投掷一颗骰子，事件A表示“奇数点”，B表示“点数大于1”，计算P(A),P(B),P(AB),P(B

22、A),P(A

23、B).13由条件概率的定义：即若P(A)>0,则P(AB)=P(A)P(B

24、A)(2)二、乘法公式若已知P(A),P(B

25、A)时,可以反求P(AB).将A、B的位置对调，有若P(B)>0,则P(BA)=P(B)P(A

26、B)(3)(2)和(3)式都称为乘法公式,利用它们可计算两个事件同时发生的概率14注意P(AB)与P(B

27、A)的区别！请看下

28、面的例子15例1甲、乙两厂共同生产1000个零件，其中300件是乙厂生产的.而在这300个零件中，有189个是标准件，现从这1000个零件中任取一个，问这个零件是乙厂生产的标准件的概率是多少？所求为P(AB).甲、乙共生产1000个189个是标准件300个乙厂生产300个乙厂生产设A={零件是乙厂生产},B={是标准件}16所求为P(AB).设A={零件是乙厂生产}B={是标准件}若改为“发现它是乙厂生产的,问它是标准件的概率是多少?”求的是P(B

29、A).A发生,在P(AB)中作为结果;在P(B

30、A)中作为条件.甲、乙共生产1000个189个是

31、标准件300个乙厂生产300个乙厂生产17条件概率P(B

32、A)与P(B)的区别每一个随机试验都是在一定条件下进行的,设B是随机试验的一个事件，则P(B