资源描述：
《三阶非线性微分方程正解的存在性》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、三阶非线性微分方程正解的存在性第12卷第4期2004年8月呼伦贝尔学院JournalofHulunbeirCollegeNo.4Vo1.12PublishedinAugust.2004三阶非线性微分方程正解的存在性万阿英余海波(1.呼伦贝尔学院数学系2.呼伦贝尔学院组织部内蒙古呼伦贝尔021008)摘要:证明了非线性三阶微分方程u+a(t)f(u)=0满足下列条件之一:u(0):0.u(0):0.u(1):0;u(0):0,u(0)=0,u(1)=0;u(0):0,u(O):0,u(1)=0;u(0):0,u(O)=o,u(1)=o:u(O)=o,u(O)=o,u(1):o
2、;u(O)=o,u(O)=o,u(1)=o;的两点边值问题正解的存在性只需f(u)于两个端点u=o和u=+CO处或者是超线性的,或者是次线性的.关键词:三阶线性方程;两点边值问题;正解的存在性中图分类号:0175文献标识码:A文章编号:1009—4601(2004)04—0025—031,主要定理蒋达清研究了非线性三阶微分"+n(f)厂(")=0在线性边值条件下正解的存在性,以及Erbe等等研究了非线性三阶微分方程"+.(t),(U)=0在线性条件下正解的存在性,他们主要用到下面锥不动点定理.定理:设E是一个Banach空间,KcE是E中的一个锥,假设nL,n2是E中开集,
3、且∈nLcnLcn2.设A:Kn(n2L)一一K是一个全连续算子,并且满足:illA"llIlU,U∈Knl,llAullllUIJ,U∈Kna02,或者iillA"ll三三=IlUll,U∈K÷L和llAullllUIl,"∈Kn2则A在Knn(2L)中具有不动点.受文1,2的启发,我们进一步研究如下三阶线性方程.U+a(f)f(U)=0(1)满足下列边值条件之"(0)=0,"(0)=0,"(1)=0;(2)"(0)=0,"(0)=0,"(1)=0;(3)"(0)=0,"(0)=0,"(1)=0;(4)"(0)=0,"(0)=0,"(1)=0;(5)"(0)=0,
4、"(0)=0,"(1)=0;(6)"(0)=0,Un(0)=0,"(1)=0;(7)设下列条件成立:HI)n(f)∈[0,1)非负,且在[0,1]任何子集上口(f)≠0.H2)f(U)是定义在[1,+00)上的非负连续函数.定义:称函数U(f)是问题(1),(i)(i=2,3,4,5,6,7)的正解,如果它满足:①"(t)∈c[o,1]且于(0,1)内大于0.②"(￡)=IG,(￡,s)口(s)f("(s))ds,0f1,其中f譬(1一):一oz1G2(￡,j)=,I等(1一j)o￡j{(1一吉('0Nc1G3(￡,j)={,【等(1一j)o￡j1f{￡2—1(￡一)o￡1
5、G4'''j==1...:.::::!:.n-1ONsN—tNl.收稿日期:2003—05一l2作者简介:万阿英(1967一).女.辽宁昌图人.毕业于东北师范大学数学系.硕士,呼伦贝尔学院数学系剐教授.余海波(1967一),女.湖北省人.毕业于内蒙古大学数学系,呼伦贝尔学院组织部.讲师.?25?1f(1一)一÷(f—)0≤≤t≤1G6(t.)'【t(1一s)0≤t1f(1一)一÷(t—s)0≤t≤1G7(f.)=1,I.-1÷(1一)0t≤1,二这里容易验证ui(t)函数是问题(1),(i)的解.主要结果如下:定理1:设条件H1)和H2)成立.那么只要满足下列条件之一,则两
6、点边值问题(1)(i)(i=2,3,4,5,6,7)存在一个正解.(1)0fo<M-<厂m≤∞(2)0厂<M-<fo∞M.=G)引.=[G砖此处,0.■tu":z:2,?,72.预备知识引理:格林函数G(t,S)(i:2,.,7)满足下面不等式G(￡,S)g(S),0t,S1.Gi(￡,s)三三=y(s),1￡34,0s1这里g2(s)=s(1一s),0s1,y2=1g3(s)=12(1一s),0s≤1,y3=1g4(s)=1s(1一s),0s1,y4=1g5(s)=1(1+s)(1一s),0s1,y5=1g6(s)=1(1+s)(1一s),0s1,
7、y6=吉g(s)=丢(1一s),0s1,y,=丢3.定理1的证明容易验证问题(1),(i)(i=2,3,4,5,6,7)等价下面积分方程"(￡)=lG(￡,s)f(s,"(s))ds,d0其中G(￡,S)由问题给出.设K是Banach空间c[o,1]中一个锥,定义为?一'6?K={"∈C[0,1];"(t)0.rain"(t)y,ll"ll}{t}这里ll"ll=Sup{I"(t)I:0t1}y由上节给出.广1定义映射(A")(￡)=lG(￡,s)口(s)厂("(s))ds首先证明A(K)K由引理知,若"∈K广l(
