高三数学专题——恒成立与存在性问题

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1、高三复习专题——恒成立与存在性问题知识点总结：(1)恒成立问题1.∀x∈D,均有f(x)>A恒成立，则f(x)min>A；2.∀x∈D,均有f(x)﹤A恒成立，则f(x)maxg(x)恒成立，则F(x)=f(x)-g(x)>0，∴F(x)min>04.∀x∈D,均有f(x)﹤g(x)恒成立，则F(x)=f(x)-g(x)﹤0，∴F(x)max﹤05.∀x1∈D,∀x2∈E,均有f(x1)>g(x2)恒成立，则f(x)min>g(x)max6.∀x1∈D,∀x2∈E,均有f(x1)

2、x)min(2)存在性问题1.∃x0∈D,使得f(x0)>A成立，则f(x)max>A；2.∃x0∈D,使得f(x0)﹤A成立，则f(x)ming(x0)成立，设F(x)=f(x)-g(x)，∴F(x)max>04.∃x0∈D,使得f(x0)g(x2)成立，则f(x)max>g(x)min6.∃x1∈D,∃x2∈E,均使得f(x1)

3、D,∃x2∈E,使得f(x1)=g(x2)成立，则{f(x)}{g(x)}(4)恒成立与存在性的综合性问题1.∀x1∈D,∃x2∈E,使得f(x1)>g(x2)成立，则f(x)min>g(x)min2.∀x1∈D,∃x2∈E,使得f(x1)A在区间D上恰成立，则等价于不等式f(x)>A的解集为D；2.若不等式f(x)g(x)的研究例1、已知函数，，其中，．对任意，都有恒成

4、立，求实数的取值范围；【思路分析】等价转化为函数恒成立，通过分离变量，创设新函数求最值解决．简解：（1）由成立，只需满足的最小值大于即可．对求导，，故在是增函数，，所以的取值范围是．►　探究点二∃x∈D，f(x)>g(x)的研究对于∃x∈D，f(x)>g(x)的研究，先设h(x)＝f(x)－g(x)，再等价为∃x∈D，h(x)max>0，其中若g(x)＝c，则等价为∃x∈D，f(x)max>c.例已知函数f(x)＝x3－ax2＋10.(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)在区间[1,2]内至少存在一个实数x，使得f(

5、x)<0成立，求实数a的取值范围．【解答】(1)当a＝1时，f′(x)＝3x2－2x，f(2)＝14，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线斜率k＝f′(2)＝8，所以曲线y＝f(x)在点(2，f(x))处的切线方程为8x－y－2＝0.(2)解法一：f′(x)＝3x2－2ax＝3x(1≤x≤2)，当a≤1，即a≤时，f′(x)≥0，f(x)在[1,2]上为增函数，故f(x)min＝f(1)＝11－a，所以11－a<0，a>11，这与a≤矛盾．当10，所以x＝a时，f(x

6、)取最小值，因此有f<0，即a3－a3＋10＝－a3＋10<0，解得a>3，这与，这符合a≥3.5/5综上所述，a的取值范围为a>.解法二：由已知得：a>＝x＋，设g(x)＝x＋(1≤x≤2)，g′(x)＝1－，∵1≤x≤2，∴g′(x)<0，所以g(x)在[1,2]上是减函数．g(x)min＝g(2)，所以a>.【点评】解法一在处理时，需要用分类讨论的方法，讨论的关键是极值点与区间[1,2]的关系；解

7、法二是用的参数分离，由于ax2>x3＋10中x2∈[1,4]，所以可以进行参数分离，而无需要分类讨论．►　探究点三∀x1∈D，∀x2∈D，f(x1)>g(x2)的研究例、设函数，对任意，都有在恒成立，求实数的取值范围．思路分析：解决双参数问题一般是先解决一个参数，再处理另一个参数．以本题为例，实质还是通过函数求最值解决．方法1：化归最值，；方法2：变量分离，或；方法3：变更主元，，简解：方法1:对求导，，由此可知，在上的最大值为与中的较大者．，对于任意，得的取值范围是．►　探究点四∀x1∈D，∃x2∈D，f(x1)>g(x2)的研究对于∀x1∈D，∃x2

8、∈D，f(x1)>g(x2)的研究，第一步先转化为∃x2∈D，f(x1)min>