《点集拓扑学》期末复习

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时间:2018-08-02

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1、期末复习  学了一个学期的点集拓扑,大家对它应当有了更多的了解,更深刻的认识.大家掩卷回忆一下,点集拓扑学的主要内容有哪些?沿着什么思路研究?研究手法是什么?  下面把这几个方面的内容理一下,仅供参考.  一、点集拓扑学的主要内容:  1.一般拓扑空间:  (1)任何点集只要定义了拓扑,就成了拓扑空间.任何拓扑空间中均有开集、基、闭集、闭包.任何点集均可能有凝聚点,任何点均有邻域.指定了顺序的元素就成了序列.(这些名词的定义是什么?相互关系是什么?如何判定?)  (2)常见的拓扑空间有:度量空间、平庸空间、离散空间、有限补空间、可数补空间等.任何集合均可通

2、过指定开集而构成上述空间.因此一个集合与不同的拓扑(开集族)配对,可以构成不同的拓扑空间.(实数集合可能成为上述空间吗?)(注意:实数集合与实数空间不同.)  (3)一般拓扑空间均可以有子空间,任意有限个拓扑空间均可以构成乘积空间.任一拓扑空间中的一个等价关系均可以造出商空间.(这些空间的拓扑是怎样的?或基是怎样的?)  2.有个性的拓扑空间:与连通性有关的空间、各可数性公理空间、各分离性公理空间、与紧致性有关的空间、完备度量空间.  (1)并不是任何空间都可以成为上述空间的.只有符合上述空间定义的空间才可以成为上述空间.(各类空间之间没有必然的联系)  

3、(2)R及是上述空间吗?  (3)若有两个空间,之间通过连续映射联系起来,则原象空间的哪些性质可以传递到象空间?  (4)上述空间的哪些性质可以遗传给子空间?(或闭遗传?)  (5)上述空间的哪些性质可以是有限可积的?  3.连通性:  (1)§4.1的所有定义,定理均要掌握.以应对判断一个空间的连通性.  (2)两种分支的性质.  (3)三种连通性之间的关系.  (4)R及的连通性.  4.可数性:  (1)P.149图表5.1  (2)各空间的性质.(特别,空间中序列的性质及如何构造序列?)  (3)哪些常见空间是的?是可分的?Lindeloff的? 

4、 5.分离性:  (1)P.171图表6.1  (2)各分离性空间的定义及等价命题.  (3)常见空间及的分离性.  (4)中序列的极限点,中点集的凝聚点,正规、完全正则空间与连续映射的关系.  (5)遗传性、有限可积性、连续映射的保持性等.  6.紧致性:  (1)P.191、201、204、208、210、212的图表.  (2)各空间的定义及等价命题.  (3)紧致性与分离性的关系.  (4)紧致、可数紧致的等价命题.  (5)中的紧致子集.  (6)局部紧致、仿紧致只要求定义与联系图.  二、思路:不断剖析,将中的性质作为公理搬到一般拓扑空间中来.

5、考察具备怎样的性质的拓扑空间才能具有与相应的性质.及研究各拓扑空间的性质及这些性质的遗传性、有限可积性、连续映射的保持性、拓扑不变性.  三、研究手法:集合的运算与逻辑推理.  四、收获  收获:复习了这些内容后,对点集拓扑学有何了解?  研究目的:研究各拓扑空间的性质及这些性质的遗传性、有限可积性、连续映射的保持性、拓扑不变性.  感受:原来具有……性质.  提高:对逻辑推理性的证明能力有提高?证明的书写能力有提高?  五、几个注意点:  1.首先,要熟悉所有的定义、定理的内容.  2.涉及度量空间,常利用球形邻域.  3.有限个开集的交是开集,任意个开

6、集的并是开集.有限个闭集的并是闭集,任意个闭集的交是闭集.  4.一个集合的任意个拓扑的交是拓扑,即使有限个拓扑的并也可能不是拓扑.  5.拓扑空间中任意个紧致闭子集的交还是紧致子集.有限个紧致子集的并还是紧致子集.  6.拓扑空间与它的子集的连通性各自独立.  7.不是连续映射所保持的性质,而是拓扑不变的.但是可遗传的,有限可积的.可分空间不可遗传,但是连续映射所保持的,有限可积的.  8.Lindeloff空间闭遗传,不可积,但是连续映射所能保持的.  紧致空间闭遗传,但是连续映射所能保持的,有限可积的.  9.分离性公理空间不是连续映射所保持的,但是

7、拓扑不变的.除正规空间,是闭遗传外,其余均可遗传.除正规空间,不可积外,其余均有限可积.均不可商.  10.在中构造序列,可利用在x处的邻域基套,在每个中取一点,.就构成序列  11.若涉及到连续映射f:X→Y,总是将X中的子集映到Y,或将Y中的子集反射到X.  12.常对一个等式或包含关系式两边同取f或或闭包,并注意利用P.23的习题1,2或P.28的定理1.6.3或P.20的定理1.5.2  13.要对集族构造一个单调上升或单调下降序列,可令:    则分别为单调上升或单调下降序列.  14.注意拓扑空间{X*,T*},其中X*=X∪{∞},但T*有两

8、种构造法:P.55的习题9与P.142的例5.2.1  15.注意

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