信息安全数学基础(b)卷答案

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1、贵州大学2007-2008学年第二学期考试试卷（标准答案）B信息安全数学基础注意事项：1.请考生按要求在试卷装订线内填写姓名、学号和年级专业。2.请仔细阅读各种题目的回答要求，在规定的位置填写答案。3.不要在试卷上乱写乱画，不要在装订线内填写无关的内容。4.满分100分，考试时间为120分钟。题号一二三四五六七八总分统分人得分得分评分人一、设a,b是任意两个不全为零的整数，证明：若m是任一正整数，则（am,bm）=（a,b）m.(共10分)解：设d=(a,b),d=(am,bm),由定理5，存在整数s,t使得Sa+tb=d两端同时乘m,得到s(am)+t(bm)=dm因此d

2、dm.(5分)又

3、显然有dm

4、am,dm

5、bm,所以dm

6、d.故d=(am,dm)（5分）得分评分人二、设p是素数.证明：如果则或（共10分）证明：因为，所以p

7、(a-b)(a+b),如果P不整除（a+b),因为P为素数，所以(P,a+b)=1,有定理可知(5分）；同理，如果P不整除（a-b),因为P为素数，所以(P,a-b)=1,有定理可知(5分）得分评分人三、求出下列一次同余数的所有解.(共10分)解：(1)求同余式的解，运用广义欧几里得除法得：x　5(mod3)　　（5分）　　　　（2）求同余式的一个特解：　　　　　　　　　x　5(mod3)　（4分）　　　　（3）写出同余式的全部解：　　　　　　　X5

8、+3t(mod9)　(t=0,1,2)　（1分）得分评分人四、求解同余式组：(共15分)　　　解：原同余式等价同余式组直接验算，的解为的解为由中国剩余定理，可求得同余式组的解为，故原同余式的解为，共6个。得分评分人五、求满足方程的所有点.(共10分)解:对x=0,1,2,3,4,5,6,分别求出y.得分评分人六、判断同余式是否有解.（共15分）解:不用考虑563是否是素数，直接计算雅可比符号，因为所以原同余式无解得分评分人七、求所有素数p使得5为模p二次剩余。（共10分）解:　即求所有素数P,st()=1,易知，P是大于5的素数，根据二次互反律（）=（-1）（）=（）（1分）（）={（）=1

9、p=1(mod5)(2分){()=1p=2(mod5)（2分）{()=-1p=3(mod5)（2分）{()=1p=-1(mod5)（2分）所以P1(mod5)orP-1(mod5)(1分）.得分评分人八、设p是一个奇素数，并且也是一个奇素数，设a是与p互素的正整数，如果，，则a是模p的原根。（共10分）证明：即证a的指数等于p-1,也就是满足a1(modp)的p-1是最小的。（2分）假设存在整数X

10、10分）证：对任意整数a,b，若(3分)于是　(3分)因此得到，.　(3分)因此，是整数环的素理想.(1分)：