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《函数零点与极值点问题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、1、已知三次函数过点（3,0），且函数在点（0，（0））处的切线恰好是直线。（1）求函数的解析式；（2）设函数，若函数在区间［-2，1］上有两个零点，求实数的取值范围。解：（1）…………………（1分）∵函数过点（3,0）,且在点（0，（0））处的切线恰好直线，∴即解得∴…………………………………（6分）（2）解法一:依题意得,原命题等价于方程在区间上有两个不同的解即在区间上有两个不同的解,即在区间上有两个不同的解;设,则令,得或∵∴当时,,当时,,∴在上单调递增,在上单调递减,∴时,,又∵在区间上有两个不同的解,∴故函数在区间［-2，1］上有两个零点时，实数的取值范围是解法二:令
2、,得或(舍去)∵∴当时,,当时,,∴在上单调递增,在上单调递减,∴时,,又若函数在区间［-2，1］上有两个零点,则即,解得故函数在区间［-2，1］上有两个零点时，实数的取值范围是18.（14分）设（1）求f(x)的单调区间；（2）求f(x)的零点个数.18.（1）解：f(x)的定义域是1分∵2分当时，，是f(x)的增区间，3分当时，令，（负舍去）当时，；当时，5分所以是f(x)的减区间，是f(x)的增区间。6分综合：当时，f(x)的增区间是，当时，f(x)的减区间是，f(x)的增区间是7分（2）由（1）知道当时，f(x)在上是增函数，当a=0时有零点x=1，8分当时，9分(或当x
3、→+0时，f(x)→-∞,当x→+∞时，f(x)→+∞,)所以f(x)在上有一个零点，10分当时，由（1）f(x)在上是减函数，f(x)在上是增函数，所以当是，f(x)有极小值，即最小值。11分当，即时f(x)无零点，当，即时f(x)有一个零点，当，即时f(x)有2个零点。13分综合：当时f(x)无零点，当时f(x)有一个零点，当时f(x)有2个零点。14分10．(本小题满分12分)已知函数(Ⅰ)若在区间上为减函数，求的取值范围；(Ⅱ)讨论在内的极值点的个数。10.解：(Ⅰ)∵∴………………………………(2分)∵在区间上为减函数∴≤O在区间上恒成立…………………………(3分)∵是
4、开口向上的抛物线≤≤∴只需即…………………………(5分)≤≤∴≤≤………………………………………(6分)(Ⅱ)当时，∴存在，使得∴在区间内有且只有一个极小值点……………(8分)当时∴存在，使得∴在区间内有且只有一个极大值点……………(10分)当≤≤时，由(Ⅰ)可知在区间上为减函数∴在区间内没有极值点．综上可知，当时，在区间内的极值点个数为当≤≤时，在区间内的极值点个数为………(12分)14．已知函数（）．（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；（Ⅱ）函数在定义域内是否存在零点？若存在，请指出有几个零点；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）若对任意恒成立，求a的取值范围．14．解：（Ⅰ）由，则．由，
5、得；由，得，所以函数的单调增区间为，单调减区间为．（Ⅱ）函数的定义域为，由，得（），令（），则，由于，，可知当，；当时，，故函数在上单调递减，在上单调递增，故．又由（Ⅰ）知当时，对，有，即，（随着的增长，的增长速度越来越快，会超过并远远大于的增长速度，而的增长速度则会越来越慢．则当且无限接近于0时，趋向于正无穷大.）当时，函数有两个不同的零点；当时，函数有且仅有一个零点；当时，函数没有零点．（Ⅲ）由，则．①当时，对，有，所以函数在区间上单调递增，又，即对恒成立．②当时，由（Ⅰ）知，单调递增区间为，单调递减区间为，若对任意恒成立，只需，令（），，即在区间上单调递减，又，故在上恒成立
6、，故当时，满足的a不存在．综上所述，a的取值范围是．
