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1、满秩矩阵及矩阵满秩分解引言矩阵是数学中的一个重要的基本概念,是代数学的一个主要研究对象,也是数学研究和应用的一个重要工具.“矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的,他是为了将数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个述语.而实际上,矩阵这个课题在诞生之前就已经发展的很好了.一矩阵的秩定义1.1[1]一个矩阵中不等于零的子式的最大阶数叫做这个矩阵的秩.记作.利用定义1.1计算矩阵的秩运算量很大,故而给出矩阵秩的第二定义.定义1.2[2]矩阵的秩等于的行秩,也等于的列秩,即行秩等于列秩.行秩指矩阵行向量组的秩,列秩指矩阵列向量组的秩.定理1.1定义1.1和定义1.2等价.证明设的秩为,则有不等于零
2、的阶子式.不妨设位于的左上角,设的前个列向量为.设,使得考虑线性方程组因为（2）的系数矩阵中有一个不等于零的阶子式,所以的秩为,从而线性方程组的（2）只有零解.因此满足（1）式的,也即证明了线性无关.设是的任意个列向量.考虑线性方程组因为方程组(3)的系数矩阵15的秩小于,所以（3）有非零解,也即有.二满秩矩阵2.1满秩矩阵的概念定义2.1.1设上的一个矩阵,若,则称为满秩矩阵.定义2.1.2设上的一个矩阵,若,则称为行满秩矩阵;若,则称为列满秩矩阵.命题2.1.1若上的一个满秩矩阵,则.命题2.1.2若矩阵的个行向量线性无关,则称此矩阵为行满秩矩阵;若矩阵的个列向量线性无关,则称此矩阵
3、为列满秩矩阵.例2.1.1,则的三个列向量可知线性无关.由命题2.1.2可知,为列满秩矩阵,且.而的三个行向量易知线性无关.由命题2.1.2可知,为行满秩矩阵,且.2.2满秩矩阵的性质性质2.2.1设上的一个矩阵,若为行满秩矩阵,则;若为列满秩矩阵,则.证法Ι若为行满秩矩阵,则,即存在的一个不为的阶子式.当15,则不存在不为的阶子式,故.同理可证,若为列满秩矩阵,则.证法Ⅱ若为行满秩矩阵,则,由命题2.1.2知,有个行向量线性无关;当,则有个列向量线性无关.由此可得的行秩为,列秩为.但这与“的行秩等于的列秩”矛盾,因此,即.同理可证,若为列满秩矩阵,则.引理2.2.1[3]设那么:其中称
4、为“Sylvester不等式”.性质2.2.2设若为列满秩矩阵,则;若为行满秩矩阵,则.证明若为列满秩矩阵,则,由“Sylvester不等式”知,再由引理2.2.1知,从而.同理可证,若为行满秩矩阵,则.引理2.2.2设,则存在数域上非零的矩阵,使得的充分必要条件为.其逆否命题可表述为设,则存在数域上非零的矩阵,使得的充分必要条件为定理2.2.1设且,若,则为列满秩矩阵.证明由于,故,从而,由引理2.2.2的逆否命题知,又,故,从而,即为列满秩矩阵.定理2.2.2设且,若,则为行满秩矩阵.证明由于,故,从而,由引理2.2.2的逆否命题知,又,故,从而,即为行满秩矩阵.15引理2.2.3[
5、1]设为矩阵,即通过行初等变换和第一种列初等变换能把化成如下形式进而再利用一系列第三种列初等变换能把化成如下形式这里性质2.2.3若为的列满秩矩阵,则存在行列的行满秩矩阵,使得;若为的行满秩矩阵,则存在行列的列满秩矩阵,使得.证明因为为列满秩矩阵,显然,由引理2.2.3知,则存在可逆的阶方阵将在行和行之间划分成块则为矩阵,为矩阵,则知.又由于,而知,故为15行满秩矩阵.同理可证,对于的行满秩矩阵,必存在行列的列满秩矩阵,使得性质2.2.4设,且上的一个列满秩矩阵,若,则左消去律成立即.证明因为,由,,则即设,,,从而有,故有由于为列满秩矩阵,线性无关,从而即.性质2.2.5设,且上的一个
6、行满秩矩阵,若,则右消去律成立即.证明因为,又为行满秩矩阵,由性质2.2.3知必存在一列满秩矩阵,使得;由条件知,给等式两边同乘得到.定理2.2.3设为矩阵,,则15(1)存在行列的列满秩矩阵和行列的行满秩矩阵,使得.(2)若,其中与为行列的列满秩矩阵,与为行列的行满秩矩阵,则必存在非奇异矩阵使得.证明（1）由于,当时,是的一个满秩分解;当时,是的一个满秩分解;当时,我们知道,可通过行初等变换将化形式,也即存在阶可逆矩阵和阶可逆矩阵有令则（2）因为是行列的行满秩矩阵,所以由性质2.2.3知,存在行列的列满秩矩阵,使得,于是在,两边右乘,有.令知是阶方阵,下证可逆.由于是行列的列满秩矩阵,
7、所以存在行列的行满秩矩阵,使,从而,所以是阶可逆矩阵.又因故而三矩阵的满秩分解3.1矩阵满秩分解的概念定义3.1.1[4]设,,若存在的列满秩矩阵和15的行满秩矩阵,使得,则称此分解为矩阵的满秩分解.推论3.1.1任意矩阵都存在满秩分解.根据定理2.2.3显然易证.3.2初等变换法基于定理2.2.3,我们可以得知,对任意矩阵都能利用初等变换法进行满秩分解.初等变换法包括行初等变换和列初等变换.行初等变换有三种变换形式,1交换两行记作
