数学谬论与诡辩选析

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1、数学谬论与诡辩选析江苏省泰州市朱庄中学曹开清(225300)谬论一：1=3有人这样证明：设a=b≠0则ab2=a3在等式两边都减去b3，得ab2-b3=a3-b3分解因式，得b2(a-b)=(a-b)(a2+ab+b2)在等式两边都除以(a-b)，得b2=a2+ab+b2因为a=b所以b2=b2+b2+b2即b2=3b2在等式两边都除以b2，即得1=3奇迹出现了！你能找出证明过程中的错误吗？解析：证明中，在等式b2(a-b)=(a-b)(a2+ab+b2)两边都除以(a-b)，而a-b=0，而0是不能作除数的！正因为用0去作除数，才出现了1=3的荒谬结果。谬论二：任何梯形都是平行四边形

2、第10页共10页如图，在梯形ABCD中，AD//BC，上底AD=a，下底BC=b，下面来证明a=b。证明方法1：设梯形中位线EF=c，则有a+b=2c等式两边都乘以(a—b)，得(a+b)·(a—b)=2c·(a—b)展开得a2-b2=2ac-2bc移项得a2-2ac=b2-2bc等式两边都加c2，得a2-2ac+c2=b2-2bc+c2即(a—c)2=(b—c)2两边都开方，得a-c=b-c等式两边都加c，得a=b这就是说，梯形ABCD是平行四边形。结论当然是荒谬的，那么证明过程中什么地方错了呢？解析：错在等式(a—c)2=(b—c)2两边都开方，得a—c=b-c这个环节上。因为由(

3、a—c)2=(b—c)2，只能得到

4、a—c

5、=

6、b-c

7、。在这里a—c＜0，b-c＞0，所以，a—c不可能等于b-c，即a≠b。证明方法2：第10页共10页如上图，延长DA到F，使FA=b，延长BC到E，使CE=a，连接AC、BD，交点为G，连接FE交AC于H。设AG=x，GH=y，HC=z因为，即，所以①因为，即，所以②①减②，得，等式两边都除以(z-x)，并取绝对值，得所以a=b。解析：由，得，因为，所以z-x=0。在等式两边都除以(z-x)，相当于在等式两边都除以0，从而导致a=b这个荒谬的结论。谬论三：n+1=n有人这样证明：对于任意一个数n，运用完全平方公式，得(n+1)2=

8、n2+2n+1在等式两边同加上[-(n+1)(2n+1)+(2n+1)2]，得(n+1)2-(n+1)(2n+1)+(2n+1)2=n2+2n+1-(n+1)(2n+1)+(2n+1)2整理，得(n+1)2-2(n+1)·[(2n+1)]+[(2n+1)]2=n2-2n·[(2n+1)]+[(2n+1)]2再运用完全平方公式，得[(n+1)-(2n+1)]2=[n-(2n+1)]2等式两边开平方，得(n+1)-(2n+1)=n-(2n+1)第10页共10页再在等式两边同加上-(2n+1)，得n+1=n这是不可能的。但是错在哪儿呢？解析：证明的错误发生在等式两边开平方的环节上。将等式[(

9、n+1)-(2n+1)]2=[n-(2n+1)]2两边开平方后，应该是

10、(n+1)-(2n+1)

11、=

12、n-(2n+1)

13、，而不是(n+1)-(2n+1)=n-(2n+1)。谬论四：三角形内切圆面积大于该三角形面积设三角形的周长为30，面积为75，根据S=(a+b+c)r=pr，得内切圆半径r===5。于是，三角形内切圆的面积=πr2=25π＞75，即三角形内切圆面积大于该三角形面积。解析：部分居然大于整体！这究竟是怎么一回事呢？原来三角形的面积与周长之间有着内在的相关性：由秦九韶——海伦公式和平均值不等式，得S=≤==s2=p2（这里s=(a+b+c)=p，s为三角形的半周长，p为三角

14、形的周长）即三角形面积S和周长p之间必须满足不等式：S≤p2（当且仅当a=b=c时取等号）.而上述三角形面积（75）和周长（30）之间并不满足这个不等式。换句话说，这个三角形根本不存在！第10页共10页谬论五、任何三角形都是等腰三角形我们知道，三角形按边分类，可分为等腰三角形和不等边三角形。现在，有人却要证明：任意三角形都是等腰三角形。如图，△ABC是任意三角形，当AB=AC时，显然△ABC是等腰三角形。下面证明当AB≠AC时，△ABC也是等腰三角形！不妨设AB＞AC，作边BC的垂直平分线DE与∠BAC的平分线，交点为P，过点P作PF⊥AB、PG⊥AC，垂足分别为F、G，连接PB、PC

15、。容易证明①△APF≌△APG（角角边），所以有AF=AG，PF=PG；②△BPF≌△CPG（由①得PF=PG，又DE垂直平分BC，所以PB=PC，再根据“斜边直角边”得证），所以有BF=CG。因为AB=AF+FB，AC=AG+GC，所以AB=AC。综上所述，任意三角形都是等腰三角形。假如这个结论是对的，那么就不存在按边分类了！但是，这个证明究竟错在什么地方呢？解析：这道题的错误在于把图画错了！如果严格的按要求画图，PG与边AC的垂足不会在边A