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1、习题一1．设随机变量X服从几何分布，即：。求X的特征函数、EX及DX。其中是已知参数。2．（1）求参数为（p,b）的分布的特征函数，其概率密度函数为（2）求其期望和方差；（3）证明对具有相同的参数b的分布，关于参数p具有可加性。3．设X是一随机变量，F（x）是其分布函数，且是严格单调的，求以下随机变量的特征函数。（1）；（2），并求（k为自然数）。4．设相互独立，具有相同的几何分布，试求的分布。5．试证函数为一特征函数，并求它所对应的随机变量的分布。6．试证函数为一特征函数，并求它所对应的随机变量的分布。7．设相互独立同服从正态分布，试求n维随机向量的分布，并求出其均值向
2、量和协方差矩阵，再求的概率密度函数。8．设X、Y相互独立，且（1）分别具有参数为(m,p)及(n,p)的二项分布；（2）分别服从参数为的分布。求X+Y的分布。9．已知随机向量（X,Y）的概率密度函数为试求其特征函数。10．已知四维随机向量服从正态分布，均值向量为0，协方差矩阵为，求。11．设X1，X2和X3相互独立，且都服从，试求随机变量和组成的随机向量(Y1,Y2)的特征函数。12．设X1，X2和X3相互独立，且都服从，试求：（1）随机向量(X1,X2,X3)的特征函数；（2）设，求随机向量(S1,S2,S3)的特征函数；（3）和组成的随机向量(Y1,Y2)的特征函数。
3、13．设(X1,X2,X3)服从三维正太分布，其中协方差矩阵为，且。试求。14．设相互独立同服从正态分布。试求的期望。15．设X、Y是相互独立同分布的随机变量，讨论和的独立性。16．设X、Y是相互独立同服从参数为1的指数分布的随机变量，讨论和的独立性。17．设二维随机变量的概率密度函数分别如下，试求。（1）（2）18．设X、Y是两个相互独立同分布的随机变量，X服从区间[0,1]上的均匀分布，Y服从参数为的指数分布。求（1）X与X+Y的联合概率密度函数；（2）D(X
4、Y=y)。19．设Xn，n=1，±1，±2，…是一列随机变量，且，其中K是正常数。试求：（1）当K>1时，X
5、n几乎肯定收敛于0；（2）当K>2时，Xn均方收敛于0；（3）当K>3时，Xn不均方收敛于0。20．设，试证明。习题二1．设X(i=1,2,3,…)是独立随机变量列，且有相同的两点分布，令，，试求：（1）随机过程{Y(n),n=0,1,2,…}的一个样本函数；（2）P[Y(1)=k]及P[Y(2)=k]之值；（3）P[Y(n)=k]；（4）均值函数；（5）协方差函数。2．设，其中A、B是相互独立且有相同的分布的随机变量，是常数，，试求：（1）X(t)的一个样本函数；（2）X(t)的一维概率密度函数；（3）均值函数和协方差函数。3．设随机过程。其中，是相互独立的随机变量，且
6、。（1）求{X(t)}的均值函数和相关函数；（2）证明{X(t)}是正太过程。4．设是参数的Wiener过程，求下列过程的均值函数和相关函数：（1）；（2）；（3）；（4）。5．设到达某商店的顾客组成强度为的Poisson流，每个顾客购买商品的概率为p，且与其他顾客是否购买商品无关，若是购买商品的顾客流，证明是强度为的Poisson流。6．在题5中，进一步设是不购买商品的顾客流，试证明与是强度分别为和的相互独立的Poisson流。7．设和分别是强度为和的独立Poisson流。试证明：（1）是强度为的Poisson流；（2）在的任一到达时间间隔内，恰有k个时间发生的概率为8
7、．设是Poisson过程，和分别是的第n个时间的到达时间和点间距距离。试证明：（1）；（2）。9．设某电报局接收的电报数组成Poisson流，平均每小时接到3次电报，求：（1）一上午（8点到12点）没有接到电报的概率；（2）下午第一个电报的到达时间的分布。10．设和分别是强度为和的独立Poisson过程，令，求的均值函数与相关函数。11．设是强度为的Poisson过程，T是服从参数为的指数分布的随即变量，且与{}独立，求[0,T]内事件数N的分布律。习题三1.证明Poisson随机变量序列的均方极限是Poisson随机变量。2.设，是独立同分布的随机变量序列，均值为μ，方
8、差为1，定义。证明。3.研究下列随机过程的均方连续性、均方可导性和均方可积性。（1），其中A、B是相互独立的二阶矩随机变量，均值为a、b，方差为、；（2），其中A、B、C是相互独立的二阶矩随机变量，均值为a、b、c，方差为、、；（3）是Poisson过程；（4）是Wiener过程.4.试研究上题中过程的均方可导性，当均方可导时，试求均方导数过程的均值函数和相关函数。5.求下列随机过程的均值函数和相关函数，从而判断其均方连续性和均方可微性。（1），其中是常数，服从[0,2π]上的均匀分布；（2）,其中是参数为1的Wiener过程
