柯西不等式与排序不等式及其应用

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1、柯西不等式与排序不等式及其应用　　　　　　　　　　目标认知学习目标：　　1、认识二维形式的柯西不等式的代数形式、向量形式和三角形式，理解它们的几何意义，掌握它们之　　　间的关系．　　2、认识柯西不等式的一般形式，理解它的几何意义，能够利用柯西不等式求一些特定函数的极值.　　3、了解排序不等式，会利用排序不等式证明有关的问题并掌握一些简单应用．重点：　　柯西不等式及排序不等式的应用.难点：　　利用柯西不等式求最值和排序不等式证明不等式学习策略：　　这部分内容是新增内容，是数学竞赛中的热点考点，随着数学素养的提高，高考可能会涉及。学习时掌握好二维形式的柯西不

2、等式的数组特点，理解好有序的数组的构造方法。知识要点梳理知识点一：柯西不等式1.二维形式的柯西不等式：　　（1）向量形式：　　　　设是两个向量，则　　　　（当且仅当是零向量或存在实数k，使时，等号成立）。　　（2）代数形式：　　　　①若a、b、c、d都是实数，则　　　　（当且仅当ad=bc时，等号成立）　　　　②若a、b、c、d都是正实数，则　　　　（当且仅当ad=bc时，等号成立）　　　　③若a、b、c、d都是实数，则　　　　（当且仅当ad=bc时，等号成立）　　注意：柯西不等式的代数形式可以看作是向量形式的坐标化表示；　　（3）三角形式：　　　　设，

3、则。2.三维形式的柯西不等式（代数形式）：　　若都是实数，　　则，当且仅当或存在实数k，　　使得时，等号成立。3.一般形式的柯西不等式（代数形式）：　　若都是实数，则　　，　　当且仅当或存在实数k，使得时，等号成立。知识点二：排序不等式（又称排序原理）　　设为两组实数，是的任一排列，称为这两个实数组的顺序积之和简称顺序和；称为这两个实数组的反序积之和简称反序和或逆序和；称为这两个实数组的乱序积之和简称乱序和；则　　≤≤　　即：反序和≤乱序和≤顺序和．　　当且仅当时，反序和等于顺序和。　　注意：　　学习排序不等式要抓住它的本质含义：两实数序列同方向单调(同

4、时增或同时减)时所得两两乘积之和最大．反之，反方向单调(一增一减)时所得两两乘积之和最小，注意等号成立条件是其中一个序列为常数序列．规律方法指导　　（1）柯西不等式是一个非常重要的不等式，其结构和谐，应用灵活广泛，灵活巧妙的运用它，可以使　　　　一些较为困难的问题迎刃而解，并且柯西不等式本身的证明方法也值得在不等式证明中借鉴。　　（2）使用一些方法构造符合柯西不等式的形式及条件，继而达到使用柯西不等式解决有关的问题。　　（3）利用柯西不等式求最值的关键在于将式子进行恰当的“凑”变形。　　（4）排序不等式要抓住它的本质含义：两实数序列同方向单调(同时增或同

5、时减)时所得两两乘积之和　　　　最大．反之，反方向单调(一增一减)时所得两两乘积之和最小，注意等号成立条件是其中一个序　　　　列为常数序列．经典例题透析类型一：利用柯西不等式求最值　　1．求函数的最大值．　　思路点拨：利用不等式解决最值问题，通常设法在不等式一边得到一个常数，并寻找不等式取等号的条件．这个函数的解析式是两部分的和，若能化为ac+bd的形式就能利用柯西不等式求其最大值．也可以利用导数求解。　　解析：　　法一：∵且，　　　　　∴函数的定义域为，且，　　　　　　　　　　当且仅当时，等号成立，　　　　　即时函数取最大值，最大值为　　法二：∵且，　

6、　　　　∴函数的定义域为　　　　　由，　　　　　得　　　　　即，解得　　　　　∴时函数取最大值，最大值为.　　总结升华：当函数解析式中含有根号时常利用柯西不等式求解．不等式中的等号能否取得是求最值问题的关键．　　举一反三：　　【变式1】设　且，求的最大值及最小值。　　【答案】　　利用柯西不等式得　　　　　　　　　　故最大值为10，最小值为-10　　【变式2】已知，，求的最值.　　【答案】　　法一：由柯西不等式　　　　　　　　　　于是的最大值为，最小值为.　　法二：由柯西不等式　　　　　　　　　　于是的最大值为，最小值为.　　【变式3】设2x+3y+5z=

7、29，求函数的最大值．　　【答案】　　根据柯西不等式　　，　　故。　　当且仅当2x+1=3y+4=5z+6，即时等号成立，　　此时，　　评注：根据所求最值的目标函数的形式对已知条件进行配凑．类型二：利用柯西不等式证明不等式　　利用柯西不等式证明某些不等式显得特别方便，而利用柯西不等式的技巧也有很多。如常数的巧拆、结构的巧变、巧设数组等。（1）巧拆常数：　　2．设、、为正数且各不相等，求证：　　思路点拨：∵、、均为正，∴为证结论正确只需证：　　而，又，故可利用柯西不等式证明之。　　证明：　　　　　　　　又、、各不相等，故等号不能成立　　∴。（2）重新安排某

8、些项的次序：　　3．、为非负数，+=1，，求证：　　思路点拨：不等号左边为两个二