2018版高中数学苏教版必修二学案:2习题课 圆的方程的应用

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1、2017-2018学年苏教版高中数学必修2学案学习目标 1.体会数形结合思想在求解与圆有关的最值问题中的应用.2.掌握直线与圆的方程的实际应用.3.了解圆系的方程.知识点一 与圆有关的最值问题1.与圆上的点(x,y)有关的最值常见的有以下几种类型:(1)形如u=形式的最值问题,可转化为过点(x,y)和(a,b)的动直线斜率的最值问题.(2)形如l=ax+by形式的最值问题,可转化为动直线y=-x+截距的最值问题.(3)形如m=(x-a)2+(y-b)2形式的最值问题,可转化为动点(x,y)到定点

2、(a,b)的距离的平方的最值问题.2.与圆的几何性质有关的最值(1)记O为圆心,圆外一点A到圆上距离的最小值为AO-r,最大值为AO+r.(2)过圆内一点的最长的弦为圆的直径,最短的弦为以该点为中点的弦.(3)记圆心到直线的距离为d,若直线与圆相离,则圆上的点到直线的最大距离为d+r,最小距离为d-r.(4)过两定点的所有圆中,面积最小的是以这两个定点为直径端点的圆.知识点二 直线与圆的方程的实际应用直线与圆的方程在生产、生活实践以及数学中有着广泛的应用,要善于利用其解决一些实际问题,关键是把实

3、际问题转化为数学问题;要有意识用坐标法解决几何问题,用坐标法解决平面几何问题的思维过程72017-2018学年苏教版高中数学必修2学案知识点三 圆系方程两圆相交(相切)有两个(一个)交点,经过这些交点可作无穷多个圆,这无穷多个圆具有某些共同的性质,我们把这些圆的集合称为圆系.常见的圆系方程有以下几种:(1)以(a,b)为圆心的同心圆系方程为(x-a)2+(y-b)2=k2(k≠0).(2)与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0同圆心的圆系方程为x2+y2+Dx+Ey+K=0.(3)过定点(a,b)的

4、圆系方程为(x-a)2+(y-b)2+λ1(x-a)+λ2(y-b)=0.(4)过直线Ax+By+C=0与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0的交点的圆系方程为x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0.(5)过两圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0和C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0的交点的圆系方程为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1,其中不含圆C2).当λ=-1时,l:(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0

5、,当两圆相交时,l为两圆的公共弦所在直线的方程;当两圆相切时,l为过两圆切点的直线方程.类型一 与圆有关的最值问题命题角度1 求目标函数的最值例1 已知实数x,y满足方程(x-2)2+y2=3.(1)求的最大值和最小值;(2)求y-x的最大值和最小值;(3)求x2+y2的最大值和最小值. 反思与感悟 与圆有关的最值问题,常见的有以下几种类型(1)形如u=形式的最值问题,可转化为过点(x,y)和(a,b)的动直线斜率的最值问题.(2)形如l=ax+by形式的最值问题,可转化为动直线y=-x+截距的

6、最值问题.(3)形如m=(x-a)2+(y-b)2形式的最值问题,可转化为动点(x,y)到定点(a,b)的距离的平方的最值问题.跟踪训练1 已知圆C:(x+2)2+y2=1,P(x,y)为圆C上任一点.(1)求的最大值与最小值;(2)求x-2y的最大值与最小值.72017-2018学年苏教版高中数学必修2学案 命题角度2 与面积有关的最值例2 点P是直线2x+y+10=0上的动点,PA,PB与圆x2+y2=4分别相切于A,B两点,则四边形PAOB面积的最小值为________.反思与感悟 求面积

7、的最值问题往往转化为距离的最值问题.跟踪训练2 已知点P(x,y)是直线kx+y+4=0(k>0)上一动点,PA,PB是圆C:x2+y2-2y=0的两条切线,A,B是切点,若四边形PACB的最小面积是2,则k的值为________.类型二 直线与圆的方程的实际应用例3 设有半径长为3km的圆形村落,甲、乙两人同时从村落中心出发,甲向东前进而乙向北前进,甲离开村后不久,改变前进方向,斜着沿切于村落边界的方向前进,后来恰好与乙相遇.设甲、乙两人的速度都一定,且其速度比为3∶1,问:甲、乙两人在何处相

8、遇?   反思与感悟 坐标法是研究与平面图形有关的实际问题的有效手段,因此要建立适当的平面直角坐标系,用直线与圆的方程解决问题.建立平面直角坐标系时要尽可能有利于简化运算.跟踪训练3 为适应市场需要,某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图),它的附近有一条公路,从基地中心O向正东走1km是储备基地的边界上的点A,接着向东再走7km到达公路上的点B,从基地中心O向正北走8km到达公路的另一点C.现准备在储备基地的边界上选一点D,修建一条由D通往公路BC的专用线DE,求DE的最短距离.类型三 过交点的

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