“无刻度天平称球找特殊”问题全解

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1、说明    这篇文章试图给出称球问题的一个一般的和严格的解答。正因为需要做到一般和严格,就要考虑许多平时遇不到的特别情形,所以叙述比较繁琐。如果对读者对严格的证明没有兴趣,可以只阅读介绍问题和约定记号的第一、第二节,以及第三节末尾27个球的例子,和第五节13个球和40个球的解法。事实上所有的技巧都已经表现在这几个例子里了。   一、问题  称球问题的经典形式是这样的:  "有十二个外表相同的球,其中有一个坏球,它的重量和其它十一个有轻微的(但是可以测量出来的)差别。现在有一架没有砝码的很灵敏的天平,问如何称三次就保证找出那个坏球,并知道它比标准球重还是

2、轻。"  这可能是网上被做过次数最多的一道智力题了。它的一种解法如下:将十二个球编号为1-12。第一次,先将1-4号放在左边,5-8号放在右边。  1.如果右重则坏球在1-8号。    第二次将2-4号拿掉,将6-8号从右边移到左边,把9-11号放在右边。就是说,把1,6,7,8放在左边,5,9,10,11放在右边。      1.如果右重则坏球在没有被触动的1,5号。如果是1号,则它比标准球轻;如果是5号,则它比标准球重。        第三次将1号放在左边,2号放在右边。          1.如果右重则1号是坏球且比标准球轻;          

3、2.如果平衡则5号是坏球且比标准球重;          3.这次不可能左重。      2.如果平衡则坏球在被拿掉的2-4号,且比标准球轻。        第三次将2号放在左边,3号放在右边。          1.如果右重则2号是坏球且比标准球轻;          2.如果平衡则4号是坏球且比标准球轻;          3.如果左重则3号是坏球且比标准球轻。      3.如果左重则坏球在拿到左边的6-8号,且比标准球重。        第三次将6号放在左边,7号放在右边。          1.如果右重则7号是坏球且比标准球重;       

4、   2.如果平衡则8号是坏球且比标准球重;          3.如果左重则6号是坏球且比标准球重。  2.如果天平平衡,则坏球在9-12号。    第二次将1-3号放在左边,9-11号放在右边。      1.如果右重则坏球在9-11号且坏球较重。        第三次将9号放在左边,10号放在右边。          1.如果右重则10号是坏球且比标准球重;          2.如果平衡则11号是坏球且比标准球重;          3.如果左重则9号是坏球且比标准球重。      2.如果平衡则坏球为12号。        第三次将1号放在左

5、边,12号放在右边。          1.如果右重则12号是坏球且比标准球重;          2.这次不可能平衡;          3.如果左重则12号是坏球且比标准球轻。      3.如果左重则坏球在9-11号且坏球较轻。        第三次将9号放在左边,10号放在右边。          1.如果右重则9号是坏球且比标准球轻;          2.如果平衡则11号是坏球且比标准球轻;          3.如果左重则10号是坏球且比标准球轻。  3.如果左重则坏球在1-8号。    第二次将2-4号拿掉,将6-8号从右边移到左边,把

6、9-11号放    在右边。就是说,把1,6,7,8放在左边,5,9,10,11放在右边。      1.如果右重则坏球在拿到左边的6-8号,且比标准球轻。        第三次将6号放在左边,7号放在右边。          1.如果右重则6号是坏球且比标准球轻;          2.如果平衡则8号是坏球且比标准球轻;          3.如果左重则7号是坏球且比标准球轻。      2.如果平衡则坏球在被拿掉的2-4号,且比标准球重。        第三次将2号放在左边,3号放在右边。          1.如果右重则3号是坏球且比标准球重; 

7、         2.如果平衡则4号是坏球且比标准球重;          3.如果左重则2号是坏球且比标准球重。      3.如果左重则坏球在没有被触动的1,5号。如果是1号,       则它比标准球重;如果是5号,则它比标准球轻。        第三次将1号放在左边,2号放在右边。          1.这次不可能右重。          2.如果平衡则5号是坏球且比标准球轻;          3.如果左重则1号是坏球且比标准球重;  够麻烦的吧。其实里面有许多情况是对称的,比如第一次称时的右重和右轻,只需考虑一种就可以了,另一种完全可以比照

8、执行。我把整个过程写下来,只是想吓唬吓唬大家。  稍微试一下,就可以知道只称两次是不可能保证找

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