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1、指数函数1．根式：(1)定义：若，则称为的次方根①当为奇数时，次方根记作__________；②当为偶数时，负数没有次方根，而正数有两个次方根且互为相反数，记作________(a>0).(2)性质：①；②当为奇数时，；③当为偶数时，_______＝2．指数：(1)规定：①a0＝(a≠0)；②a-p＝；③.(2)运算性质：①(a>0,r、Q)②(a>0,r、Q)③(a>0,r、Q)注：上述性质对r、R均适用.3．指数函数：①定义：函数称为指数函数，1)函数的定义域为；2)函数的值域为；3)当________时函数为减函数，
2、当_______时为增函数.②函数图像：1)过点，图象在；2)指数函数以为渐近线(当时，图象向无限接近轴，当时，图象向无限接近x轴)；3)函数的图象关于对称.③函数值的变化特征：①②③①②③典型例题例1.已知a=,b=9.求：（1）（2）.解：（1）原式=.÷［a·］==a.∵a=，∴原式=3.（2）方法一化去负指数后解.∵a=∴a+b=方法二利用运算性质解.∵a=∴a+b=变式训练1：化简下列各式（其中各字母均为正数）:（1）（2）解：（1）原式=（2）原式=-例2.函数f(x)=x2-bx+c满足f(1+x)
3、=f(1-x)且f(0)=3,则f(bx)与f(cx)的大小关系是（）A.f(bx)≤f(cx)B.f(bx)≥f(cx)C.f(bx)＞f(cx)D.大小关系随x的不同而不同解：A变式训练2：已知实数a、b满足等式，下列五个关系式：①0＜b＜a;②a＜b＜0;③0＜a＜b;④b＜a＜0;⑤a=b.其中不可能成立的关系式有（）A.1个B.2个C.3个D.4个解：B例3.求下列函数的定义域、值域及其单调区间：（1）f(x)=3;（2）g(x)=-(.解：（1）依题意x2-5x+4≥0,解得x≥4或x≤
4、1,∴f（x）的定义域是（-∞，1］∪［4，+∞）.令u=∵x∈（-∞，1］∪［4，+∞），∴u≥0，即≥0，而f(x)=3≥30=1,∴函数f(x)的值域是［1，+∞）.∵u=,∴当x∈（-∞，1］时，u是减函数，当x∈［4，+∞）时，u是增函数.而3＞1,∴由复合函数的单调性可知，f（x）=3在（-∞，1］上是减函数，在［4，+∞）上是增函数.故f（x）的增区间是［4，+∞），减区间是（-∞，1］.（2）由g(x)=-(∴函数的定义域为R，令t=(x(t＞0),∴g(t)=-t2+4t+5=-(t-
5、2)2+9,∵t＞0,∴g(t)=-(t-2)2+9≤9,等号成立的条件是t=2,即g(x)≤9,等号成立的条件是(=2，即x=-1，∴g（x）的值域是（-∞，9］.由g(t)=-(t-2)2+9(t＞0),而t=(是减函数，∴要求g(x)的增区间实际上是求g(t)的减区间，求g(x)的减区间实际上是求g(t)的增区间.∵g（t）在（0，2］上递增，在［2，+∞）上递减，由0＜t=(≤2,可得x≥-1,由t=(≥2,可得x≤-1.∴g（x）在［-1，+∞）上递减，在（-∞，-1］上递增，故g(x)的单调递
6、增区间是（-∞，-1］，单调递减区间是［-1，+∞）.变式训练3：求下列函数的单调递增区间：（1）y=(;(2)y=2.解：（1）函数的定义域为R.令u=6+x-2x2,则y=(.∵二次函数u=6+x-2x2的对称轴为x=,在区间［，+∞）上，u=6+x-2x2是减函数，又函数y=(u是减函数，∴函数y=(在［，+∞）上是增函数.故y=(单调递增区间为［，+∞）.（2）令u=x2-x-6,则y=2u,∵二次函数u=x2-x-6的对称轴是x=,在区间［，+∞）上u=x2-x-6是增函数.又函数y=2u
7、为增函数，∴函数y=2在区间［，+∞）上是增函数.故函数y=2的单调递增区间是［，+∞）.例4．设a＞0,f(x)=是R上的偶函数.（1）求a的值；（2）求证：f(x)在（0，+∞）上是增函数.（1）解：∵f（x）是R上的偶函数，∴f（-x）=f（x），∴∴（a-=0对一切x均成立，∴a-=0，而a＞0,∴a=1.（2）证明在（0，+∞)上任取x1、x2，且x1＜x2,则f(x1)-f(x2)=+--=(∵x1＜x2,∴有∵x1＞0,x2＞0,∴x1+x2＞0,∴＞1,-1＜0.∴f(x1)-f(x2)＜
8、0,即f(x1)＜f(x2),故f(x)在（0,+∞）上是增函数.变式训练4：已知定义在R上的奇函数f(x)有最小正周期2，且当x∈(0,1)时，f(x)=.（1）求f（x)在［-1，1］上的解析式；（2）证明：f(x)在（0，1）上是减函数.（1）解：当x∈(-1,0)时，-x∈(0,1).∵f
